Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(g) sumn=1^infty 12^n-n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se a série infinita converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries infinitas, especificamente o Teste da Comparação, que ajuda a comparar a série em questão com outra que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série: . Notamos que, conforme cresce, cresce muito mais rápido que . Isso significa que, para valores grandes de , é praticamente igual a . Então, podemos aproximar os termos da série por .

Passo 3

Agora, sabemos que a série sumn=1^infty 12^n = 1/21 - 1/2 = 1 é uma série geométrica com razão . Como , essa série geométrica converge. A soma dessa série é dada por:

Passo 4

Como para todo (porque ), e sabemos que converge, pelo Teste da Comparação, isso implica que a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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