Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se a série infinita
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries infinitas, especificamente o Teste da Comparação, que ajuda a comparar a série em questão com outra que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série:
. Notamos que, conforme
cresce,
cresce muito mais rápido que
. Isso significa que, para valores grandes de
,
é praticamente igual a
. Então, podemos aproximar os termos da série por
.
Passo 3
Agora, sabemos que a série
é uma série geométrica com razão
. Como
, essa série geométrica converge. A soma dessa série é dada por:
Passo 4
Como
para todo
(porque
), e sabemos que
converge, pelo Teste da Comparação, isso implica que a série original
também converge.
Resposta
A série
converge.