Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente. an = ln(n) / n^a, a > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por , onde . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge (isto é, se ela se aproxima de um número específico quando cresce) ou se diverge (não se aproxima de nenhum número específico). Para isso, vamos precisar entender como o logaritmo natural e a função potência se comportam quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar individualmente as duas partes da nossa sequência: e . Sabemos que conforme aumenta, também aumenta, mas de forma bem mais lenta comparado a funções polinomiais ou exponenciais. Por outro lado, cresce rapidamente, especialmente para valores maiores de .

Passo 3

Agora, queremos entender o comportamento de quando tende ao infinito. Intuitivamente, como cresce muito mais rápido que , a fração inteira deve diminuir à medida que aumenta. Mas vamos formalizar isso usando limites.

Passo 4

Vamos calcular o limite da sequência quando tende ao infinito:
Para resolver esse limite, podemos usar uma regra importante de cálculo de limites, que nos ajuda a comparar o crescimento de funções. Sabemos que funções polinomiais de (como ) crescem mais rápido que funções logarítmicas (como ) quando vai para o infinito.

Passo 5

Aplicando essa regra, podemos concluir que:
Isso porque o denominador cresce tão rapidamente que “arranca” a função , fazendo com que o valor da fração se aproxime de zero.

Resposta

A sequência é convergente para 0 para todo .

Exercícios relacionados