Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por
, onde
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge (isto é, se ela se aproxima de um número específico quando
cresce) ou se diverge (não se aproxima de nenhum número específico). Para isso, vamos precisar entender como o logaritmo natural
e a função potência
se comportam quando
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar individualmente as duas partes da nossa sequência:
e
. Sabemos que conforme
aumenta,
também aumenta, mas de forma bem mais lenta comparado a funções polinomiais ou exponenciais. Por outro lado,
cresce rapidamente, especialmente para valores maiores de
.
Passo 3
Agora, queremos entender o comportamento de
quando
tende ao infinito. Intuitivamente, como
cresce muito mais rápido que
, a fração inteira deve diminuir à medida que
aumenta. Mas vamos formalizar isso usando limites.
Passo 4
Vamos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito:
Para resolver esse limite, podemos usar uma regra importante de cálculo de limites, que nos ajuda a comparar o crescimento de funções. Sabemos que funções polinomiais de
(como
) crescem mais rápido que funções logarítmicas (como
) quando
vai para o infinito.
Passo 5
Aplicando essa regra, podemos concluir que:
Isso porque o denominador
cresce tão rapidamente que “arranca” a função
, fazendo com que o valor da fração se aproxime de zero.
Resposta
A sequência
é convergente para 0 para todo
.
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Calcule:
c)
c)
(10 pts) Seja
a sequência das somas parciais da série
. Encontre uma expressão para
em função de
.
<html><head></head><body><div>Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.<br>
f) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.577ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“34.46ex” height=“2.851ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1005 15231.1 1260”><title>raiz(3, x^2) + raiz(3, y^2) + raiz(3, z^2) = 14 ; (-8, 27, 1)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mroot”><g><g data-mml-node=“msup” transform=“translate(853,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 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150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(523,289) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g></g></g></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(362,416) scale(0.5)”><path data-c=“33” d=“M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 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