Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.
f) raiz(3, x^2) + raiz(3, y^2) + raiz(3, z^2) = 14 ; (-8, 27, 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície definida por no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o plano tangente a uma superfície num ponto específico é aquele que “toca” a superfície nesse ponto sem cortá-la. Para achar a equação desse plano, precisamos das derivadas parciais da função que define a superfície.

Passo 3

Vamos definir a função . O plano tangente a essa superfície no ponto pode ser encontrado usando a fórmula:
onde , e são as derivadas parciais de em relação a , e respectivamente, e é o ponto dado.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 6

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente:
Vamos simplificar isso multiplicando todos os termos por 9 para eliminar os denominadores:
Distribuindo:
Juntando os termos:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Mas para mantê-lo em forma mais simples, podemos deixar assim:

Passo 7

Agora, vamos encontrar as equações da reta normal à superfície no ponto dado. A reta normal passa pelo ponto e tem como direção o vetor normal ao plano tangente, que é (os coeficientes de , e na equação do plano).
As equações paramétricas da reta são:
onde é o parâmetro.

Resposta

A equação do plano tangente é e as equações da reta normal são:

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