Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície definida por
no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o plano tangente a uma superfície num ponto específico é aquele que “toca” a superfície nesse ponto sem cortá-la. Para achar a equação desse plano, precisamos das derivadas parciais da função que define a superfície.
Passo 3
Vamos definir a função
. O plano tangente a essa superfície no ponto
pode ser encontrado usando a fórmula:
onde
,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
respectivamente, e
é o ponto dado.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 6
Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente:
Vamos simplificar isso multiplicando todos os termos por 9 para eliminar os denominadores:
Distribuindo:
Juntando os termos:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Mas para mantê-lo em forma mais simples, podemos deixar assim:
Passo 7
Agora, vamos encontrar as equações da reta normal à superfície no ponto dado. A reta normal passa pelo ponto
e tem como direção o vetor normal ao plano tangente, que é
(os coeficientes de
,
e
na equação do plano).
As equações paramétricas da reta são:
onde
é o parâmetro.
Resposta
A equação do plano tangente é
e as equações da reta normal são: