Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma.
sumn=2^infty ln nn^p, p>0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=2^infty ln nn^p, p > 0
Queremos descobrir para quais valores de essa série converge, ou seja, tem uma soma finita. Se for possível, também vamos calcular o valor dessa soma. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre testes de convergência de séries, especialmente o Teste da Integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série em si. A série é composta por termos da forma . À medida que aumenta, cresce, mas cresce muito mais rápido se for positivo. A questão é descobrir se a rapidez com que cresce é suficiente para que a soma dos termos seja finita.

Passo 3

Vamos usar o Teste da Integral para verificar a convergência dessa série. Esse teste diz que se integral2^infty ln xx^p , dx é uma função positiva, contínua e decrescente para , então a série converge se e somente se a integral imprópria
também converge.

Passo 4

Vamos calcular essa integral:
integral ln xx^p , dx
Para resolver, podemos usar a substituição por partes, onde:
  • integral ln xx^p , dx = ln x cdot x^-p + 1-p + 1 - integral x^-p + 1-p + 1 cdot 1x dx = ln x(-p + 1)x^p - 1 - 1-p + 1 integral x^-p dx
  • = ln x(1 - p)x^p - 1 + 1(1 - p)^2 x^p - 1 + C (desde que )
Aplicando a integração por partes:
Simplificando:
Integrando novamente:

Passo 5

Agora, precisamos avaliar a integral imprópria de 2 até o infinito:
limb to infty [ ln b(1 - p)b^p - 1 + 1(1 - p)^2 b^p - 1 - (ln 2(1 - p)2^p - 1 + 1(1 - p)^2 2^p - 1) ]
Para que a integral convirja, os termos que envolvem devem tender a zero quando vai ao infinito. Vamos analisar cada termo:
  1. :
    • Se , cresce mais rápido que , então esse termo tende a zero.
    • Se , isso não ocorre.
  2. :
    • Novamente, se , tende a zero.
    • Se , não.
Portanto, a integral converge se , e diverge se .

Passo 6

Concluímos que a série converge se e somente se . Para , a série não converge, ou seja, a soma é infinita.

Resposta

A série é convergente para todo e divergente para . Quando , a soma da série é finita.

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