Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
Queremos descobrir para quais valores de
essa série converge, ou seja, tem uma soma finita. Se for possível, também vamos calcular o valor dessa soma. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre testes de convergência de séries, especialmente o Teste da Integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série em si. A série é composta por termos da forma
. À medida que
aumenta,
cresce, mas
cresce muito mais rápido se
for positivo. A questão é descobrir se a rapidez com que
cresce é suficiente para que a soma dos termos seja finita.
Passo 3
Vamos usar o Teste da Integral para verificar a convergência dessa série. Esse teste diz que se
é uma função positiva, contínua e decrescente para
, então a série
converge se e somente se a integral imprópria
também converge.
Passo 4
Vamos calcular essa integral:
Para resolver, podemos usar a substituição por partes, onde:
-
⇒ -
⇒ (desde que )
Aplicando a integração por partes:
Simplificando:
Integrando novamente:
Passo 5
Agora, precisamos avaliar a integral imprópria de 2 até o infinito:
Para que a integral convirja, os termos que envolvem
devem tender a zero quando
vai ao infinito. Vamos analisar cada termo:
-
: - Se
, cresce mais rápido que , então esse termo tende a zero. - Se
, isso não ocorre.
- Se
-
: - Novamente, se
, tende a zero. - Se
, não.
- Novamente, se
Portanto, a integral converge se
, e diverge se
.
Passo 6
Concluímos que a série
converge se e somente se
. Para
, a série não converge, ou seja, a soma é infinita.
Resposta
A série
é convergente para todo
e divergente para
. Quando
, a soma da série é finita.
Exercícios relacionados
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma.
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Encontre as funções (a)
, (b)
, ©
e (d)
e seus domínios.
Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta.