Encontre as funções (a)
, (b)
, ©
e (d)
e seus domínios.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre composição de funções. A gente vai precisar entender como compor funções, ou seja, aplicar uma função dentro da outra, e também determinar o domínio de cada função composta. As funções que temos são:
Vamos encontrar as composições
,
,
e
, além de seus respectivos domínios.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a):
. Isso significa que vamos aplicar a função
primeiro e depois aplicar
no resultado de
.
Substituindo
na função
:
Agora, vamos determinar o domínio dessa função composta. Para
estar definida, o denominador não pode ser zero e o que está dentro da raiz quadrada tem que ser positivo:
Então, o domínio de
é
.
Passo 3
Vamos para a parte (b):
. Aqui, aplicamos
primeiro e depois
no resultado de
.
Substituindo
na função
:
Para determinar o domínio, precisamos que
esteja definida, ou seja:
Porque dentro da raiz quadrada tem que ser positivo e o denominador não pode ser zero. Portanto, o domínio de
é
.
Passo 4
Agora, a parte ©:
. Vamos aplicar
duas vezes.
Substituindo
na própria função
:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então,
.
Para o domínio, precisamos que cada aplicação de
esteja definida:
Primeiro,
para
estar definida. Depois,
, que já está garantido se
.
Então, o domínio de
é
.
Passo 5
Por fim, a parte (d):
. Vamos aplicar
duas vezes.
Substituindo
na função
:
Agora, para o domínio, como
é uma função linear que está definida para todo número real, a composição também está definida para todo
.
Então, o domínio de
é
(todos os números reais).
Resposta
As composições das funções e seus domínios são:
a)
, domínio:
b)
, domínio:
c)
, domínio:
d)
, domínio:
(todos os números reais)
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