Encontre as funções (a) , (b) , © e (d) e seus domínios.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre composição de funções. A gente vai precisar entender como compor funções, ou seja, aplicar uma função dentro da outra, e também determinar o domínio de cada função composta. As funções que temos são:
Vamos encontrar as composições , , e , além de seus respectivos domínios.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): . Isso significa que vamos aplicar a função primeiro e depois aplicar no resultado de .
Substituindo na função :
Agora, vamos determinar o domínio dessa função composta. Para estar definida, o denominador não pode ser zero e o que está dentro da raiz quadrada tem que ser positivo:
Então, o domínio de é .

Passo 3

Vamos para a parte (b): . Aqui, aplicamos primeiro e depois no resultado de .
Substituindo na função :
Para determinar o domínio, precisamos que esteja definida, ou seja:
Porque dentro da raiz quadrada tem que ser positivo e o denominador não pode ser zero. Portanto, o domínio de é .

Passo 4

Agora, a parte ©: . Vamos aplicar duas vezes.
Substituindo na própria função :
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, .
Para o domínio, precisamos que cada aplicação de esteja definida:
Primeiro, para estar definida. Depois, , que já está garantido se .
Então, o domínio de é .

Passo 5

Por fim, a parte (d): . Vamos aplicar duas vezes.
Substituindo na função :
Agora, para o domínio, como é uma função linear que está definida para todo número real, a composição também está definida para todo .
Então, o domínio de é (todos os números reais).

Resposta

As composições das funções e seus domínios são:
a) , domínio:
b) , domínio:
c) , domínio:
d) , domínio: (todos os números reais)

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Expresse a função na forma .