Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta.
sumn=2^infty 1n^ln n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série sumn=2^infty 1n^ln n é convergente ou divergente. Esse é um problema de Cálculo, mais especificamente sobre convergência de séries. Para resolver, vamos precisar usar alguns testes de convergência, como o Teste da Integral ou o Teste de Comparação. Vamos passo a passo entender qual teste aplicar e por quê.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão geral da série: 1n^ln n. Podemos reescrever isso para facilitar a análise:
1n^ln n = e^-ln n cdot ln n = e^-(ln n)^2
Essa forma nos ajuda a ver como o termo geral se comporta quando aumenta.

Passo 3

Agora, vamos pensar em qual teste de convergência é mais adequado aqui. O Teste da Integral é útil quando temos uma função contínua, positiva e decrescente. Já o Teste de Comparação é bom quando conseguimos comparar nossa série com uma série p conhecida.
Vamos usar o Teste de Comparação porque podemos comparar nossa série com uma série p, que sabemos que converge ou diverge dependendo do valor de .

Passo 4

Sabemos que uma série p da forma sumn=1^infty 1n^p converge se 1n^ln n e diverge se 1n^p.
Vamos comparar o nosso termo geral com . Para isso, precisamos entender como se comporta quando cresce.

Passo 5

Observamos que cresce sem limites conforme aumenta. Portanto, cresce muito mais rápido que qualquer potência fixa de . Isso significa que decai para zero mais rápido que para qualquer .

Passo 6

Como é menor que para qualquer e sabemos que a série p converge para , podemos concluir que nossa série original também converge.

Resposta

A série sumn=2^infty 1n^ln n converge.

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