Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série
é convergente ou divergente. Esse é um problema de Cálculo, mais especificamente sobre convergência de séries. Para resolver, vamos precisar usar alguns testes de convergência, como o Teste da Integral ou o Teste de Comparação. Vamos passo a passo entender qual teste aplicar e por quê.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão geral da série:
. Podemos reescrever isso para facilitar a análise:
Essa forma nos ajuda a ver como o termo geral se comporta quando
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos pensar em qual teste de convergência é mais adequado aqui. O Teste da Integral é útil quando temos uma função contínua, positiva e decrescente. Já o Teste de Comparação é bom quando conseguimos comparar nossa série com uma série p conhecida.
Vamos usar o Teste de Comparação porque podemos comparar nossa série com uma série p, que sabemos que converge ou diverge dependendo do valor de
.
Passo 4
Sabemos que uma série p da forma
converge se
e diverge se
.
Vamos comparar o nosso termo geral
com
. Para isso, precisamos entender como
se comporta quando
cresce.
Passo 5
Observamos que
cresce sem limites conforme
aumenta. Portanto,
cresce muito mais rápido que qualquer potência fixa de
. Isso significa que
decai para zero mais rápido que
para qualquer
.
Passo 6
Como
é menor que
para qualquer
e sabemos que a série p converge para
, podemos concluir que nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Encontre as funções (a)
, (b)
, ©
e (d)
e seus domínios.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma.
Expresse a função na forma
.
Use a tabela para determinar o valor de cada expressão.
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
3 | 1 | 5 | 6 | 2 | 4 |
|
5 | 3 | 4 | 1 | 3 | 2 |
- (a)