Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular a soma dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o padrão da série. Observando os termos, vemos que cada termo é da forma . Podemos reescrever isso como .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é uma série geométrica. É uma série onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante . A forma geral de uma série geométrica é:
onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 4

Comparando com a nossa série, temos:
Porque cada termo é vezes o termo anterior.

Passo 5

Sabemos que uma série geométrica converge se e diverge se . No nosso caso, , então .

Passo 6

Como , a série não converge. Isso significa que a soma dos termos cresce sem limites e, portanto, a série é divergente.

Resposta

A série é divergente.

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Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma.
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