Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular a soma dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o padrão da série. Observando os termos, vemos que cada termo é da forma
. Podemos reescrever isso como
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é uma série geométrica. É uma série onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante
. A forma geral de uma série geométrica é:
onde
é o primeiro termo e
é a razão.
Passo 4
Comparando com a nossa série, temos:
Porque cada termo é
vezes o termo anterior.
Passo 5
Sabemos que uma série geométrica converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, então
.
Passo 6
Como
, a série não converge. Isso significa que a soma dos termos cresce sem limites e, portanto, a série é divergente.
Resposta
A série
é divergente.
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Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma.
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