Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma série infinita:
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, soma até um valor finito) ou diverge (vai para o infinito). Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de análise de séries, como testes de comparação e propriedades de funções logarítmicas e racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Para grandes valores de
,
é aproximadamente igual a
, então podemos simplificar a expressão para entender o comportamento da série:
Isso nos dá uma ideia de que a série se comporta de forma semelhante a
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar de um teste importante para séries: o Teste da Comparação. Esse teste nos permite comparar nossa série com outra série conhecida para determinar sua convergência ou divergência.
Sabemos que
cresce mais lentamente que qualquer potência de
. Então,
é menor que
para qualquer
quando
é grande o suficiente.
Passo 4
Vamos comparar nossa série com
. Sabemos que a série
converge se
. Aqui,
, então a série
converge.
Agora, vamos ver se podemos usar o Teste da Comparação:
Para
, temos:
Como
cresce mais lentamente que
, a desigualdade acima é válida para
suficientemente grande.
Passo 5
Como
converge e
para
grande, pelo Teste da Comparação, nossa série
também converge.
Passo 6
Voltando à nossa série original
, notamos que para
, o denominador
é positivo, e a série é semelhante a
, que já vimos que converge.
Resposta
Portanto, a série
converge.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações:
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.
Resolva as seguintes equações:
Simplifique, usando quadrados notáveis, as seguintes expressões: