Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumn=1^+infty ln nn(n-3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma série infinita: . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, soma até um valor finito) ou diverge (vai para o infinito). Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de análise de séries, como testes de comparação e propriedades de funções logarítmicas e racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: ln nn(n-3) approx ln nn^2 . Para grandes valores de , é aproximadamente igual a , então podemos simplificar a expressão para entender o comportamento da série:
Isso nos dá uma ideia de que a série se comporta de forma semelhante a .

Passo 3

Agora, vamos lembrar de um teste importante para séries: o Teste da Comparação. Esse teste nos permite comparar nossa série com outra série conhecida para determinar sua convergência ou divergência.
Sabemos que cresce mais lentamente que qualquer potência de . Então, é menor que para qualquer quando é grande o suficiente.

Passo 4

Vamos comparar nossa série com ln nn^2 <= n^kn^2 . Sabemos que a série ln nn^2 <= n^1/2n^2 = 1n^3/2 converge se . Aqui, , então a série converge.
Agora, vamos ver se podemos usar o Teste da Comparação:
Para , temos:
Como cresce mais lentamente que , a desigualdade acima é válida para suficientemente grande.

Passo 5

Como converge e para grande, pelo Teste da Comparação, nossa série também converge.

Passo 6

Voltando à nossa série original , notamos que para , o denominador é positivo, e a série é semelhante a , que já vimos que converge.

Resposta

Portanto, a série converge.

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Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumn=1^+infty pi^nraizn.
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