Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: .
Passo 1
Então, a gente tem a série . O que a gente precisa descobrir é se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar testes de convergência de séries, que são ferramentas da matemática que ajudam a entender o comportamento de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a forma da nossa série: temos . Perceba que cresce muito rápido, porque é uma constante maior que 1, e quando a gente eleva uma constante maior que 1 a uma potência crescente, o resultado cresce exponencialmente. Já o , que está no denominador, cresce mais devagar, seguindo uma taxa de crescimento de raiz quadrada.
Passo 3
Para decidir a convergência ou divergência, vamos aplicar o Teste da Razão (ou teste da razão), que é bastante útil para séries com termos envolvendo potências. Esse teste diz que, se o limite da razão entre termos consecutivos for maior que 1, a série diverge; se for menor que 1, converge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular o limite da razão entre termos consecutivos:
Passo 5
Simplificando o limite:
L = pi cdot limn to infty raiznraizn+1 = pi cdot limn to infty raiznn+1 = pi cdot raiz1 = pi
Passo 6
Como pi approx 3,14 e é maior que 1, de acordo com o Teste da Razão, se L > 1, a série diverge.