Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumn=1^+infty pi^nraizn.

Passo 1

Então, a gente tem a série sumn=1^+infty pi^nraizn. O que a gente precisa descobrir é se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar testes de convergência de séries, que são ferramentas da matemática que ajudam a entender o comportamento de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a forma da nossa série: temos pi^nraizn. Perceba que pi^n cresce muito rápido, porque pi é uma constante maior que 1, e quando a gente eleva uma constante maior que 1 a uma potência crescente, o resultado cresce exponencialmente. Já o raizn, que está no denominador, cresce mais devagar, seguindo uma taxa de crescimento de raiz quadrada.

Passo 3

Para decidir a convergência ou divergência, vamos aplicar o Teste da Razão (ou teste da razão), que é bastante útil para séries com termos envolvendo potências. Esse teste diz que, se o limite da razão entre termos consecutivos for maior que 1, a série diverge; se for menor que 1, converge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular o limite da razão entre termos consecutivos:
L = limn to infty | pi^n+1raizn+1pi^nraizn | = limn to infty pi^n+1 cdot raiznpi^n cdot raizn+1 = limn to infty pi cdot raiznraizn+1

Passo 5

Simplificando o limite:
L = pi cdot limn to infty raiznraizn+1 = pi cdot limn to infty raiznn+1 = pi cdot raiz1 = pi

Passo 6

Como pi approx 3,14 e é maior que 1, de acordo com o Teste da Razão, se L > 1, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^+infty pi^nraizn diverge.

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Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumn=1^+infty ln nn(n-3).