Decida se a proposição abaixo é verdadeira ou falsa:
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Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A proposição diz que se a integral de uma função de 1 até o infinito é igual a 1, então a soma dos valores dessa função avaliados em todos os números naturais também seria igual a 1. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e séries infinitas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que . Isso quer dizer que a área sob a curva da função a partir de 1 até o infinito é igual a 1. Esse tipo de integral é conhecido como integral imprópria.

Passo 3

Agora, a segunda parte da proposição fala sobre a soma infinita . Isso significa que, se você somar os valores de para todos os números naturais a partir de 1, o resultado seria 1.

Passo 4

Para saber se a proposição é verdadeira, precisamos verificar se a igualdade entre a integral e a soma sempre ocorre. Em geral, a integral de uma função contínua pode ser diferente da soma dos valores discretos dessa função.

Passo 5

Vamos considerar um exemplo simples: .
  • Calculando a integral:
  • Calculando a soma:
Aqui vemos que a integral é igual a 1, mas a soma é aproximadamente 1,6449, que é diferente de 1.

Passo 6

Esse exemplo mostra que, mesmo quando a integral de de 1 até infinito é 1, a soma dos valores para de 1 até infinito pode ser diferente de 1.

Resposta

A proposição é falsa. Mesmo que , não necessariamente .

Exercícios relacionados

Utilize o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
5661577762756355646060576157676269676859657265 6168736562758066616976725775688364696466746576 6558656465606580668068556671
a. Construa uma distribuição de frequência
(a) (equação de Hermite, oscilador harmônico quântico-mecânico)
(b) (vibrações mecânicas, circuitos elétricos, sismologia)
© (Equação de Laplace, teoria do potencial, eletricidade, calor, aerodinâmica)
(d) (competição entre duas espécies, ecologia)
(e) , onde é uma constante (taxas de reação química)
(f) (equação de Kidder, fluxo de gases por um meio poroso)
(g) , onde e são constantes (curva logística, epidemiologia, economia)
(h) (deflexão de feixes)
(i) (aerodinâmica, análise de estresse)
Utilize o teste de comparação para determinar se a série é convergente ou divergente.