Decida se a proposição abaixo é verdadeira ou falsa:
Se integral1^infty f(x) d x=1 , então sumn=1^infty f(n)=1 ã

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A proposição diz que se a integral de uma função de 1 até o infinito é igual a 1, então a soma dos valores dessa função avaliados em todos os números naturais também seria igual a 1. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e séries infinitas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que . Isso quer dizer que a área sob a curva da função a partir de 1 até o infinito é igual a 1. Esse tipo de integral é conhecido como integral imprópria.

Passo 3

Agora, a segunda parte da proposição fala sobre a soma infinita . Isso significa que, se você somar os valores de para todos os números naturais a partir de 1, o resultado seria 1.

Passo 4

Para saber se a proposição é verdadeira, precisamos verificar se a igualdade entre a integral e a soma sempre ocorre. Em geral, a integral de uma função contínua pode ser diferente da soma dos valores discretos dessa função.

Passo 5

Vamos considerar um exemplo simples: integral1^infty 1x^2 , dx = [ -1x ]1^infty = 0 - (-1) = 1 .
  • Calculando a integral:
    sumn=1^infty 1n^2 = pi^26 approx 1,6449
  • Calculando a soma:
Aqui vemos que a integral é igual a 1, mas a soma é aproximadamente 1,6449, que é diferente de 1.

Passo 6

Esse exemplo mostra que, mesmo quando a integral de de 1 até infinito é 1, a soma dos valores para de 1 até infinito pode ser diferente de 1.

Resposta

A proposição é falsa. Mesmo que , não necessariamente .

Exercícios relacionados