Decida se a proposição abaixo é verdadeira ou falsa:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A proposição diz que se a integral de uma função
de 1 até o infinito é igual a 1, então a soma dos valores dessa função avaliados em todos os números naturais também seria igual a 1. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e séries infinitas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
. Isso quer dizer que a área sob a curva da função
a partir de 1 até o infinito é igual a 1. Esse tipo de integral é conhecido como integral imprópria.
Passo 3
Agora, a segunda parte da proposição fala sobre a soma infinita
. Isso significa que, se você somar os valores de
para todos os números naturais
a partir de 1, o resultado seria 1.
Passo 4
Para saber se a proposição é verdadeira, precisamos verificar se a igualdade entre a integral e a soma sempre ocorre. Em geral, a integral de uma função contínua pode ser diferente da soma dos valores discretos dessa função.
Passo 5
Vamos considerar um exemplo simples:
.
-
Calculando a integral:
-
Calculando a soma:
Aqui vemos que a integral é igual a 1, mas a soma é aproximadamente 1,6449, que é diferente de 1.
Passo 6
Esse exemplo mostra que, mesmo quando a integral de
de 1 até infinito é 1, a soma dos valores
para
de 1 até infinito pode ser diferente de 1.
Resposta
A proposição é falsa. Mesmo que
, não necessariamente
.