Utilize o teste de comparação para determinar se a série é convergente ou divergente. sumn=1^infty 14 n^2+n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos usar o teste de comparação para determinar se a série sumn=1^infty 14 n^2+n é convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar comparar essa série com outra série que já conhecemos se ela converge ou diverge.

Passo 2

O teste de comparação funciona comparando os termos da série em questão com os termos de uma série conhecida. Se os termos da nossa série forem menores ou iguais aos termos de uma série convergente, então a nossa série também converge. Se forem maiores ou iguais a uma série divergente, a nossa série diverge.

Passo 3

Vamos analisar os termos da série 14n^2+n. Observando o denominador, vemos que 4n^2+n > 4n^2 para todo n >= 1. Portanto:
14n^2+n < 14n^2

Passo 4

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^2 é uma série p com p = 2, que é maior que 1. Séries p com p > 1 são convergentes.

Passo 5

Como mostramos que 14n^2+n < 14n^2 e a série sumn=1^infty 14n^2 é convergente (pois é uma constante multiplicada por uma série p convergente), pelo teste de comparação, a série original sumn=1^infty 14n^2+n também é convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty 14n^2+n é convergente pelo teste de comparação.

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