(a)
(equação de Hermite, oscilador harmônico quântico-mecânico)
(b)
(vibrações mecânicas, circuitos elétricos, sismologia)
©
(Equação de Laplace, teoria do potencial, eletricidade, calor, aerodinâmica)
(d)
(competição entre duas espécies, ecologia)
(e)
, onde
é uma constante (taxas de reação química)
(f)
(equação de Kidder, fluxo de gases por um meio poroso)
(g)
, onde
e
são constantes (curva logística, epidemiologia, economia)
(h)
(deflexão de feixes)
(i)
(aerodinâmica, análise de estresse)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a seguinte equação diferencial:
Essa é a Equação de Hermite, que aparece em tópicos como o oscialdor harmônico quântico-mecânico. Para resolver essa equação, vamos precisar entender sobre polinômios de Hermite e como eles são utilizados para encontrar soluções para esse tipo de equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral da Equação de Hermite. A equação típica dos polinômios de Hermite é:
Onde
é o polinômio de Hermite de ordem
.
Comparando com a nossa equação:
Podemos ver que ela se parece muito com a equação dos polinômios de Hermite, onde o termo
está substituído por
. Isso sugere que
, já que
.
Passo 3
Agora, sabendo que
, podemos escrever o polinômio de Hermite de primeira ordem,
. Os primeiros polinômios de Hermite são:
Então, para
, temos
.
Passo 4
Vamos verificar se
é realmente uma solução da nossa equação diferencial.
Primeiro, calculamos as derivadas:
Agora, substituímos esses valores na equação original:
Isso confirma que
é uma solução válida.
Resposta
A solução da equação diferencial é
.
Exercícios relacionados
Decida se a proposição abaixo é verdadeira ou falsa:
Utilize o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Utilize o teste de comparação para determinar se a série é convergente ou divergente.
Utilize o teste de comparação de limite para determinar se a série é convergente ou divergente.