(a) d^2 yd x^2-2 x d yd x+2 y=0 (equação de Hermite, oscilador harmônico quântico-mecânico)
(b) 5 d^2 xd t^2+4 d xd t+9 x=2 cos 3 t (vibrações mecânicas, circuitos elétricos, sismologia)
© partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0 (Equação de Laplace, teoria do potencial, eletricidade, calor, aerodinâmica)
(d) d yd x=y(2-3 x)x(1-3 y) (competição entre duas espécies, ecologia)
(e) d xd t=k(4-x)(1-x), onde k é uma constante (taxas de reação química)
(f) raiz1-y d^2 yd x^2+2 x d yd x=0 (equação de Kidder, fluxo de gases por um meio poroso)
(g) d pd t=k p(P-p), onde k e P são constantes (curva logística, epidemiologia, economia)
(h) 8 d^4 yd x^4=x(1-x) (deflexão de feixes)
(i) x d^2 yd x^2+d yd x+x y=0 (aerodinâmica, análise de estresse)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a seguinte equação diferencial:
d^2 yd x^2 - 2 x d yd x + 2 y = 0
Essa é a Equação de Hermite, que aparece em tópicos como o oscialdor harmônico quântico-mecânico. Para resolver essa equação, vamos precisar entender sobre polinômios de Hermite e como eles são utilizados para encontrar soluções para esse tipo de equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da Equação de Hermite. A equação típica dos polinômios de Hermite é:
d^2 Hnd x^2 - 2 x d Hnd x + 2n Hn = 0
Onde d^2 yd x^2 - 2 x d yd x + 2 y = 0 é o polinômio de Hermite de ordem .
Comparando com a nossa equação:
Podemos ver que ela se parece muito com a equação dos polinômios de Hermite, onde o termo está substituído por . Isso sugere que , já que .

Passo 3

Agora, sabendo que H0(x) = 1 , podemos escrever o polinômio de Hermite de primeira ordem, H1(x) = 2x . Os primeiros polinômios de Hermite são:
H2(x) = 4x^2 - 2
H3(x) = 8x^3 - 12x
e assim por diante
Então, para , temos .

Passo 4

Vamos verificar se dydx = ddx (2x) = 2 é realmente uma solução da nossa equação diferencial.
Primeiro, calculamos as derivadas:
d^2 yd x^2 = ddx (2) = 0
0 - 2x cdot 2 + 2 cdot 2x = 0
Agora, substituímos esses valores na equação original:
0 - 4x + 4x = 0
0 = 0
Isso confirma que é uma solução válida.

Resposta

A solução da equação diferencial é .

Exercícios relacionados