(a) (equação de Hermite, oscilador harmônico quântico-mecânico)
(b) (vibrações mecânicas, circuitos elétricos, sismologia)
© (Equação de Laplace, teoria do potencial, eletricidade, calor, aerodinâmica)
(d) (competição entre duas espécies, ecologia)
(e) , onde é uma constante (taxas de reação química)
(f) (equação de Kidder, fluxo de gases por um meio poroso)
(g) , onde e são constantes (curva logística, epidemiologia, economia)
(h) (deflexão de feixes)
(i) (aerodinâmica, análise de estresse)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a seguinte equação diferencial:
Essa é a Equação de Hermite, que aparece em tópicos como o oscialdor harmônico quântico-mecânico. Para resolver essa equação, vamos precisar entender sobre polinômios de Hermite e como eles são utilizados para encontrar soluções para esse tipo de equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da Equação de Hermite. A equação típica dos polinômios de Hermite é:
Onde é o polinômio de Hermite de ordem .
Comparando com a nossa equação:
Podemos ver que ela se parece muito com a equação dos polinômios de Hermite, onde o termo está substituído por . Isso sugere que , já que .

Passo 3

Agora, sabendo que , podemos escrever o polinômio de Hermite de primeira ordem, . Os primeiros polinômios de Hermite são:
Então, para , temos .

Passo 4

Vamos verificar se é realmente uma solução da nossa equação diferencial.
Primeiro, calculamos as derivadas:
Agora, substituímos esses valores na equação original:
Isso confirma que é uma solução válida.

Resposta

A solução da equação diferencial é .

Exercícios relacionados

Decida se a proposição abaixo é verdadeira ou falsa:
ã
Utilize o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Utilize o teste de comparação para determinar se a série é convergente ou divergente.
Utilize o teste de comparação de limite para determinar se a série é convergente ou divergente.