Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes:
Em R^4,(1,0,-1,0),(4,0,-3,1),(2,1,-1,1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de três vetores no espaço , (1, 0, -1, 0), (4, 0, -3, 1), (2, 1, -1, 1) , :
O objetivo é descobrir se esses vetores são linearmente independentes. Isso significa que não dá para escrever um vetor como combinação linear dos outros. Para resolver isso, vamos usar a teoria de sistemas lineares e métodos de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz onde cada vetor é uma coluna. Assim:
A = 1 & 4 & 2 0 & 0 & 1 -1 & -3 & -1 0 & 1 & 1
A ideia é verificar se a única solução para é . Se for esse o caso, os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos aplicar o método de escalonamento (ou redução de linhas) para simplificar a matriz 1 & 4 & 2 0 & 0 & 1 -1 & -3 & -1 0 & 1 & 1 . Nosso objetivo é chegar numa forma onde fique claro se há soluções não triviais.
Primeiro, observamos a matriz:
R3 = R3 + R1 Rightarrow 1 & 4 & 2 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1
Vamos somar a primeira linha à terceira para eliminar o no terceiro linha, primeira coluna:

Passo 4

Agora, vamos dar uma olhada nas linhas:
1 & 4 & 2 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1
Vemos que a terceira e a quarta linhas são iguais. Vamos subtrair a terceira da quarta para simplificar:
R4 = R4 - R3 Rightarrow 1 & 4 & 2 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0

Passo 5

Agora, a matriz está quase na forma escalonada. Vamos reordenar as linhas para facilitar:
1 & 4 & 2 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Cada pivô (o primeiro número diferente de zero em cada linha) está em uma coluna diferente. Isso indica que temos três pivôs.

Passo 6

Como temos três pivôs em uma matriz de 4 linhas e 3 colunas, isso significa que não há combinações lineares não triviais que dão zero. Ou seja, a única solução para é .

Resposta

Os vetores são linearmente independentes em .

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