Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes: ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de três vetores no espaço :
O objetivo é descobrir se esses vetores são linearmente independentes. Isso significa que não dá para escrever um vetor como combinação linear dos outros. Para resolver isso, vamos usar a teoria de sistemas lineares e métodos de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos montar uma matriz onde cada vetor é uma coluna. Assim:
A ideia é verificar se a única solução para é . Se for esse o caso, os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos aplicar o método de escalonamento (ou redução de linhas) para simplificar a matriz 1 & 4 & 2 0 & 0 & 1 -1 & -3 & -1 0 & 1 & 1 . Nosso objetivo é chegar numa forma onde fique claro se há soluções não triviais.
Agora, a matriz está quase na forma escalonada. Vamos reordenar as linhas para facilitar:
1 & 4 & 2 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Cada pivô (o primeiro número diferente de zero em cada linha) está em uma coluna diferente. Isso indica que temos três pivôs.
Passo 6
Como temos três pivôs em uma matriz de 4 linhas e 3 colunas, isso significa que não há combinações lineares não triviais que dão zero. Ou seja, a única solução para é .