Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes: ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de três vetores no espaço :
O objetivo é descobrir se esses vetores são linearmente independentes. Isso significa que não dá para escrever um vetor como combinação linear dos outros. Para resolver isso, vamos usar a teoria de sistemas lineares e métodos de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos montar uma matriz onde cada vetor é uma coluna. Assim:
A ideia é verificar se a única solução para é . Se for esse o caso, os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos aplicar o método de escalonamento (ou redução de linhas) para simplificar a matriz . Nosso objetivo é chegar numa forma onde fique claro se há soluções não triviais.
Primeiro, observamos a matriz:
Vamos somar a primeira linha à terceira para eliminar o no terceiro linha, primeira coluna:
Passo 4
Agora, vamos dar uma olhada nas linhas:
Vemos que a terceira e a quarta linhas são iguais. Vamos subtrair a terceira da quarta para simplificar:
Passo 5
Agora, a matriz está quase na forma escalonada. Vamos reordenar as linhas para facilitar:
Cada pivô (o primeiro número diferente de zero em cada linha) está em uma coluna diferente. Isso indica que temos três pivôs.
Passo 6
Como temos três pivôs em uma matriz de 4 linhas e 3 colunas, isso significa que não há combinações lineares não triviais que dão zero. Ou seja, a única solução para é .