Seja
uma matriz quadrada. Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que
é uma matriz anti-simétrica, onde
é uma matriz quadrada. Para isso, precisamos entender o que é uma matriz anti-simétrica e como a transposta de uma matriz funciona. Além disso, vamos explorar o que acontece se
não for uma matriz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser anti-simétrica. Uma matriz
é anti-simétrica se, ao transpor
, obtemos
. Em termos matemáticos:
Isso significa que cada elemento
de
satisfaz
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a matriz
. Queremos mostrar que essa matriz é anti-simétrica, ou seja, que:
Vamos calcular a transposta de
:
Sabemos que a transposta de uma transposta retorna a matriz original, então
. Substituindo:
Isso confirma que
é anti-simétrica.
Passo 4
Agora, vamos pensar no caso em que
n��o é uma matriz quadrada. Para que a operação de transposição
seja válida, a matriz
precisa ser quadrada, já que a transposta de uma matriz retém o número de linhas como colunas e vice-versa. Se
não for quadrada,
terá dimensões diferentes de
, tornando a subtração
impossível de ser realizada.
Resposta
Portanto,
é uma matriz anti-simétrica quando
é uma matriz quadrada. Se
não for quadrada, a subtração
não está definida.
Exercícios relacionados
Mostrar que o plano tangente à esfera
no ponto (
tem equação
Decida quais dos seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes:
Defina os seguintes termos: Cota.
Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes:
;