Seja A uma matriz quadrada. Mostre que:
(a) A-A^t é anti-simétrica Que podemos dizer se A não for uma matriz quadrada? ééã

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que é uma matriz anti-simétrica, onde é uma matriz quadrada. Para isso, precisamos entender o que é uma matriz anti-simétrica e como a transposta de uma matriz funciona. Além disso, vamos explorar o que acontece se não for uma matriz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser anti-simétrica. Uma matriz M^t = -M é anti-simétrica se, ao transpor , obtemos . Em termos matemáticos:
Isso significa que cada elemento de satisfaz .

Passo 3

Agora, vamos considerar a matriz (A - A^t)^t = -(A - A^t) . Queremos mostrar que essa matriz é anti-simétrica, ou seja, que:
(A - A^t)^t = A^t - (A^t)^t
Vamos calcular a transposta de (A - A^t)^t = A^t - A = -(A - A^t) :
Sabemos que a transposta de uma transposta retorna a matriz original, então . Substituindo:
Isso confirma que é anti-simétrica.

Passo 4

Agora, vamos pensar no caso em que n��o é uma matriz quadrada. Para que a operação de transposição seja válida, a matriz precisa ser quadrada, já que a transposta de uma matriz retém o número de linhas como colunas e vice-versa. Se não for quadrada, terá dimensões diferentes de , tornando a subtração impossível de ser realizada.

Resposta

Portanto, é uma matriz anti-simétrica quando é uma matriz quadrada. Se não for quadrada, a subtração não está definida.

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