Considere os vetores de .
Encontre condições sobre , c tais que seja uma combinação linear de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar condições sobre os números e de modo que o vetor seja uma combinação linear dos vetores e no espaço tridimensional . Estamos entrando no tema de combinação linear, que é tudo sobre expressar vetores como soma de outros vetores multiplicados por escalares. Para resolver isso, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser uma combinação linear de e . Isso quer dizer que existem números e tais que:
Substituindo os vetores:
Passo 3
Agora, vamos distribuir os escalares:
Isso nos dá três equações:
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar condições para s + 2t = a Rightarrow s = a - 2t que tornam esse sistema possível. Vamos resolver o sistema para 2(a - 2t) + 3t = b 2a - 4t + 3t = b 2a - t = b Rightarrow t = 2a - b e s = a - 2(2a - b) = a - 4a + 2b = -3a + 2b usando as duas primeiras equações e depois verificar a terceira.
Primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo na expressão para :
Passo 5
Agora que temos 3s + t = c 3(-3a + 2b) + (2a - b) = c -9a + 6b + 2a - b = c -7a + 5b = c e em termos de e , vamos substituir esses valores na terceira equação para verificar a condição para :
Passo 6
A equação final c = -7a + 5b é a condição que e devem satisfazer para que seja uma combinação linear de e . Ou seja, para que exista e que atendam ao sistema, deve ser verdade que:
Resposta
Para que seja uma combinação linear dos vetores e , deve satisfazer a condição .