Considere os vetores u=(1,2,3) e v=(2,3,1) de R^3.
Encontre condições sobre a, b, c tais que w=(a, b, c) seja uma combinação linear de u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar condições sobre os números e de modo que o vetor seja uma combinação linear dos vetores e no espaço tridimensional . Estamos entrando no tema de combinação linear, que é tudo sobre expressar vetores como soma de outros vetores multiplicados por escalares. Para resolver isso, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa w = s cdot u + t cdot v ser uma combinação linear de (a, b, c) = s cdot (1, 2, 3) + t cdot (2, 3, 1) e . Isso quer dizer que existem números e tais que:
Substituindo os vetores:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os escalares:
(a, b, c) = (s cdot 1 + t cdot 2, ; s cdot 2 + t cdot 3, ; s cdot 3 + t cdot 1)
Isso nos dá três equações:
s + 2t = a 2s + 3t = b 3s + t = c

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar condições para s + 2t = a Rightarrow s = a - 2t que tornam esse sistema possível. Vamos resolver o sistema para 2(a - 2t) + 3t = b 2a - 4t + 3t = b 2a - t = b Rightarrow t = 2a - b e s = a - 2(2a - b) = a - 4a + 2b = -3a + 2b usando as duas primeiras equações e depois verificar a terceira.
Primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo na expressão para :

Passo 5

Agora que temos 3s + t = c 3(-3a + 2b) + (2a - b) = c -9a + 6b + 2a - b = c -7a + 5b = c e em termos de e , vamos substituir esses valores na terceira equação para verificar a condição para :

Passo 6

A equação final c = -7a + 5b é a condição que e devem satisfazer para que seja uma combinação linear de e . Ou seja, para que exista e que atendam ao sistema, deve ser verdade que:

Resposta

Para que seja uma combinação linear dos vetores e , deve satisfazer a condição .

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Considere os vetores u=(1,2,3) e v=(2,3,1) de R^3.
Encontre k de tal modo que w=(1, k, 4) seja uma combinação linear de u e v.
Decida se os vetores dados formam uma base de R^3, nos casos seguintes.
(1,2,3),(1,3,5),(1,0,1),(2,3,0);
Decida se os vetores de R^3 dados são linearmente dependentes ou não nos casos seguintes.
u=(1,2,5), v=(2,5,1), w=(1,5,2),
Decida se os vetores dados são linearmente dependentes ou independentes.
(1,2,-3,1),(3,7,1,-2),(1,3,7,-4);