Decida se os vetores de R^3 dados são linearmente dependentes ou não nos casos seguintes.
u=(1,2,5), v=(2,5,1), w=(1,5,2),

Passo 1

Beleza, a gente tem três vetores no espaço tridimensional: , e . A pergunta é: esses vetores são linearmente dependentes ou não? Vamos usar o conceito de dependência linear, que nos ajuda a ver se um dos vetores pode ser escrito como uma combinação dos outros. Para resolver isso, vamos calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for zero, os vetores são dependentes; se for diferente de zero, são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz com os vetores A = 1 & 2 & 1 2 & 5 & 5 5 & 1 & 2 , e como colunas:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante em uma matriz 3x3 é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde os elementos da matriz são:
a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando isso na nossa matriz det(A) = 1 cdot (5 cdot 2 - 5 cdot 1) - 2 cdot (2 cdot 2 - 5 cdot 5) + 1 cdot (2 cdot 1 - 5 cdot 5) :
= 1 cdot (10 - 5) - 2 cdot (4 - 25) + 1 cdot (2 - 25)
Vamos calcular cada parte:
= 1 cdot 5 - 2 cdot (-21) + 1 cdot (-23)
= 5 + 42 - 23
= 24

Passo 4

O determinante que calculamos foi 24, que é diferente de zero. Isso significa que a matriz é inversível e, portanto, os vetores , e são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores , e são linearmente independentes.

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