Considere os vetores de .
Encontre de tal modo que seja uma combinação linear de e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional, e , e queremos descobrir o valor de tal que o vetor seja uma combinação linear de e . Isso significa que precisamos encontrar números escalares e que satisfaçam a equação:
Para resolver isso, vamos seguir passo a passo.
Passo 2
Escrevemos a combinação linear dos vetores e :
Queremos que isso seja igual a . Então, igualamos cada componente:
Passo 3
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( a = 1 - 2b e ). Vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar e , e então usar a terceira para descobrir .
Primeiro, resolvemos a primeira equação para :
Passo 4
Substituímos 2(1 - 2b) + 3b = k 2 - 4b + 3b = k 2 - b = k na segunda equação:
Então, .
Passo 5
Agora, usamos a terceira equação para encontrar 3(1 - 2b) + b = 4 3 - 6b + b = 4 3 - 5b = 4 -5b = 1 b = -15 . Substituímos na terceira equação:
Passo 6
Com o valor de k = 2 - (-15) = 2 + 15 = 105 + 15 = 115 encontrado, substituímos de volta em :
Resposta
O valor de que faz com que seja uma combinação linear de e é .