Considere os vetores u=(1,2,3) e v=(2,3,1) de R^3.
Encontre k de tal modo que w=(1, k, 4) seja uma combinação linear de u e v.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional, w = a cdot u + b cdot v e , e queremos descobrir o valor de tal que o vetor seja uma combinação linear de e . Isso significa que precisamos encontrar números escalares e que satisfaçam a equação:
Para resolver isso, vamos seguir passo a passo.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear dos vetores a cdot u + b cdot v = a cdot (1, 2, 3) + b cdot (2, 3, 1) = (a + 2b, 2a + 3b, 3a + b) e a + 2b = 1 2a + 3b = k 3a + b = 4 :
Queremos que isso seja igual a . Então, igualamos cada componente:

Passo 3

Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( a = 1 - 2b e ). Vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar e , e então usar a terceira para descobrir .
Primeiro, resolvemos a primeira equação para :

Passo 4

Substituímos 2(1 - 2b) + 3b = k 2 - 4b + 3b = k 2 - b = k na segunda equação:
Então, .

Passo 5

Agora, usamos a terceira equação para encontrar 3(1 - 2b) + b = 4 3 - 6b + b = 4 3 - 5b = 4 -5b = 1 b = -15 . Substituímos na terceira equação:

Passo 6

Com o valor de k = 2 - (-15) = 2 + 15 = 105 + 15 = 115 encontrado, substituímos de volta em :

Resposta

O valor de que faz com que seja uma combinação linear de e é .

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(1,2,3),(1,3,5),(1,0,1),(2,3,0);
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(1,3,1,-2),(2,5,-1,3),(1,3,7,-2).
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u=(1,2,5), v=(2,5,1), w=(1,5,2),