Decomponha o polinômio
como: um produto de polinômios do segundo grau com coeficientes reais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decompor o polinômio
em um produto de polinômios de segundo grau com coeficientes reais. Para fazer isso, vamos usar um pouco de álgebra e algumas identidades matemáticas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o polinômio
de uma forma que facilitem a fatoração. Sabemos que
, então podemos pensar em algo parecido com uma soma de quadrados.
Passo 3
A soma de dois quadrados não fatorada diretamente em números reais, mas podemos usar a identidade de Sophie Germain, que diz que:
No nosso caso,
e
, então substituindo na identidade:
Passo 4
Vamos verificar se essa fatoração está correta multiplicando os dois polinômios:
Simplificando os termos:
Como o resultado é igual ao polinômio original, a fatoração está correta.
Resposta
Portanto, a decomposição do polinômio
em um produto de polinômios de segundo grau com coeficientes reais é: