Prove que se
é uma raiz
-ésima da unidade diferente de 1 então:
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número complexo
que é uma raiz
-ésima da unidade, ou seja, satisfaz
, e além disso,
não é igual a 1. O que precisamos mostrar é que a soma
dá zero. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra envolvendo séries geométricas e propriedades das raízes da unidade.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma raiz
-ésima da unidade é um número complexo que, elevado à potência
, resulta em 1. Essas raízes estão igualmente distribuídas no círculo complexo, mas como
, estamos lidando com uma das outras raízes.
Passo 3
Agora, vamos considerar a soma
. Isso é uma série geométrica com razão
. Sabemos que a soma de uma série geométrica finita é dada por:
Passo 4
Como
é uma raiz
-ésima da unidade, temos que
. Substituindo isso na fórmula da soma:
Resposta
Portanto, a soma
é igual a zero quando
é uma raiz
-ésima da unidade diferente de 1.