Prove que se w é uma raiz n-ésima da unidade diferente de 1 então: 1 + w + w^{2} + ... + w^{n-1} = 0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número complexo que é uma raiz -ésima da unidade, ou seja, satisfaz , e além disso, não é igual a 1. O que precisamos mostrar é que a soma dá zero. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra envolvendo séries geométricas e propriedades das raízes da unidade.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma raiz -ésima da unidade é um número complexo que, elevado à potência , resulta em 1. Essas raízes estão igualmente distribuídas no círculo complexo, mas como , estamos lidando com uma das outras raízes.

Passo 3

Agora, vamos considerar a soma . Isso é uma série geométrica com razão . Sabemos que a soma de uma série geométrica finita é dada por:

Passo 4

Como é uma raiz -ésima da unidade, temos que . Substituindo isso na fórmula da soma:

Resposta

Portanto, a soma é igual a zero quando é uma raiz -ésima da unidade diferente de 1.

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