Calcule as seguintes raízes e as represente no plano complexo. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular as raízes quadradas de um número complexo, que nesse caso é . Isso faz parte do conteúdo de Números Complexos, e para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com a forma polar dos números complexos e aplicar um pouquinho de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que qualquer número complexo pode ser escrito na forma polar: , onde é o módulo e é o argumento do número. Nosso número é , então vamos encontrar e para ele.

Passo 3

Para encontrar o módulo , usamos a fórmula , onde é a parte real e é a parte imaginária. No nosso caso, e , então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento . O argumento é o ângulo que o número faz com o eixo real no plano complexo. Como está no eixo imaginário negativo, radianos (ou 270 graus).

Passo 5

Com isso, podemos escrever na forma polar:

Passo 6

Para encontrar as raízes quadradas, usamos a fórmula geral para as raízes -ésimas de um número complexo:
onde .

Passo 7

Aplicando essa fórmula para , , , e :
Para :
Para :

Passo 8

Agora, calculando os valores trigonométricos:

Passo 9

Substituindo de volta:
Para :
Para :

Resposta

As raízes quadradas de são:
Esses pontos podem ser representados no plano complexo como e .

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