Calcule as seguintes raízes e as represente no plano complexo.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular as raízes quadradas de um número complexo, que nesse caso é
. Isso faz parte do conteúdo de Números Complexos, e para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com a forma polar dos números complexos e aplicar um pouquinho de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que qualquer número complexo pode ser escrito na forma polar:
, onde
é o módulo e
é o argumento do número. Nosso número é
, então vamos encontrar
e
para ele.
Passo 3
Para encontrar o módulo
, usamos a fórmula
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. No nosso caso,
e
, então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento
. O argumento é o ângulo que o número faz com o eixo real no plano complexo. Como
está no eixo imaginário negativo,
radianos (ou 270 graus).
Passo 5
Com isso, podemos escrever
na forma polar:
Passo 6
Para encontrar as raízes quadradas, usamos a fórmula geral para as raízes
-ésimas de um número complexo:
onde
.
Passo 7
Aplicando essa fórmula para
,
,
, e
:
Para :
Para
Para
:
Passo 8
Agora, calculando os valores trigonométricos:
Passo 9
Substituindo de volta:
Para :
Para
Para
:
Resposta
As raízes quadradas de
são:
Esses pontos podem ser representados no plano complexo como
e
.