Calcule as seguintes raízes e as represente no plano complexo. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular as raízes quadradas de um número complexo, que nesse caso é . Isso faz parte do conteúdo de Números Complexos, e para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com a forma polar dos números complexos e aplicar um pouquinho de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que qualquer número complexo pode ser escrito na forma polar: , onde é o módulo e é o argumento do número. Nosso número é , então vamos encontrar e para ele.
Passo 3
Para encontrar o módulo , usamos a fórmula , onde é a parte real e é a parte imaginária. No nosso caso, e , então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento . O argumento é o ângulo que o número faz com o eixo real no plano complexo. Como está no eixo imaginário negativo, radianos (ou 270 graus).
Passo 5
Com isso, podemos escrever na forma polar:
Passo 6
Para encontrar as raízes quadradas, usamos a fórmula geral para as raízes -ésimas de um número complexo:
onde .
Passo 7
Aplicando essa fórmula para , , , e :
Para :
Para :
Passo 8
Agora, calculando os valores trigonométricos:
Passo 9
Substituindo de volta:
Para :
Para :
Resposta
As raízes quadradas de são:
Esses pontos podem ser representados no plano complexo como e .