Decomponha a porta CNOT|c, trang<==|c, c oplus trang<= em termos de produto externo na base computacional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para decompor a porta CNOT, que atua sobre dois qubits, na base computacional usando produto externo. Isso envolve conceitos de portas quânticas, bases computacionais e produto tensorial (ou produto externo). Para resolver, vamos precisar entender como a porta CNOT funciona e como expressá-la matematicamente nessa base.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a base computacional. Em sistemas de qubits, a base computacional é formada pelos estados |00rang<=, |01rang<=, |10rang<=, |11rang<=. Aqui, cada par de bits representa o estado dos dois qubits.

Passo 3

Agora, vamos entender a porta CNOT. Essa porta é uma porta quântica de duas entradas: um qubit de controle ( c) e um qubit alvo ( t). A ação dela é: se o qubit de controle está no estado |1rang<=, ela aplica a operação oplus (XOR) no qubit alvo. Ou seja, CNOT|c, trang<= = |c, c oplus trang<=.

Passo 4

Vamos representar a porta CNOT como uma matriz na base computacional. Sabemos que essa porta atua da seguinte forma:
  • CNOT|00rang<= = |00rang<=
  • CNOT|01rang<= = |01rang<=
  • CNOT|10rang<= = |11rang<=
  • CNOT|11rang<= = |10rang<=
Assim, a matriz da CNOT na base computacional fica:
CNOT = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0

Passo 5

Para decompor a matriz da CNOT em termos de produto externo, vamos expressá-la como a soma de projeções nos estados da base computacional. Cada elemento da matriz pode ser escrito como |irang<=lang<= j|, onde |irang<= e |jrang<= são estados da base.
Então, a decomposição fica:
CNOT = |00rang<=lang<=00| + |01rang<=lang<=01| + |10rang<=lang<=11| + |11rang<=lang<=10|

Resposta

A porta CNOT decomposta em termos de produto externo na base computacional é:
CNOT = |00rang<=lang<=00| + |01rang<=lang<=01| + |10rang<=lang<=11| + |11rang<=lang<=10|

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