Mostre que o produto tensorial de dois projetores é um projetor.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos mostrar que o produto tensorial de dois projetores também é um projetor. Na álgebra linear, um projetor é uma transformação linear $ P $ que satisfaz a propriedade $ P^2 = P $. Para resolver isso, vamos usar as propriedades dos produtos tensoriais e as características dos projetores.

Passo 2

Vamos considerar dois projetores $ P $ e $ Q $. Pela definição de projetor, sabemos que:
P
Isso significa que aplicar o projetor duas vezes é o mesmo que aplicar uma vez.

Passo 3

O que queremos provar é que o produto tensorial $ P \otimes Q $ também é um projetor. Ou seja, precisamos mostrar que:
P otimes Q

Passo 4

Vamos calcular $ (P \otimes Q)^2 $. Sabemos que para produtos tensoriais, a multiplicação é dada por:
(P otimes Q)^2
Aplicando isso ao nosso caso:
(A otimes B)(C otimes D) = (AC) otimes (BD)

Passo 5

Como $ P $ e $ Q $ são projetores, temos $ P^2 = P $ e $ Q^2 = Q $. Substituindo na expressão anterior:
P

Passo 6

Portanto, concluímos que:
(P otimes Q)^2 = P otimes Q
Isso mostra que o produto tensorial de $ P $ e $ Q $ satisfaz a propriedade de ser um projetor.

Resposta

O produto tensorial de dois projetores $ P $ e $ Q $ é, de fato, um projetor porque $ (P \otimes Q)^2 = P \otimes Q $.

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