Mostre que o produto tensorial de dois projetores é um projetor.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos mostrar que o produto tensorial de dois projetores também é um projetor. Na álgebra linear, um projetor é uma transformação linear $ P $ que satisfaz a propriedade $ P^2 = P $. Para resolver isso, vamos usar as propriedades dos produtos tensoriais e as características dos projetores.
Passo 2
Vamos considerar dois projetores $ P $ e $ Q $. Pela definição de projetor, sabemos que:
Isso significa que aplicar o projetor duas vezes é o mesmo que aplicar uma vez.
Passo 3
O que queremos provar é que o produto tensorial $ P \otimes Q $ também é um projetor. Ou seja, precisamos mostrar que:
Passo 4
Vamos calcular $ (P \otimes Q)^2 $. Sabemos que para produtos tensoriais, a multiplicação é dada por:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 5
Como $ P $ e $ Q $ são projetores, temos $ P^2 = P $ e $ Q^2 = Q $. Substituindo na expressão anterior:
Passo 6
Portanto, concluímos que:
Isso mostra que o produto tensorial de $ P $ e $ Q $ satisfaz a propriedade de ser um projetor.
Resposta
O produto tensorial de dois projetores $ P $ e $ Q $ é, de fato, um projetor porque $ (P \otimes Q)^2 = P \otimes Q $.