As matrizes de Pauli são um conjunto de três matrizes 2 times 2 que representam operadores fundamentais na mecânica quântica:
sigmax=(ll 0 & 1 1 & 0 ), sigmay=(cc 0 & -i i & 0 ), sigmaz=(cc 1 & 0 0 & -1 )
(a) Prove que as matrizes de Pauli são operadores hermitianos e que sigmax^2= sigmay^2=sigmaz^2=I2 times 2.
(b) Mostre também que são operadores unitários.
© Prove que as matrizes de Pauli satisfazem as seguintes regras de multiplicação (anticomutatividade):
i. sigmax sigmay=-sigmay sigmax=i sigmaz
ii. sigmay sigmaz=-sigmaz sigmay=i sigmax
iii. sigmaz sigmax=-sigmax sigmaz=i sigmay

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que precisa ser feito aqui. A gente está trabalhando com as matrizes de Pauli, que são matrizes 2x2 muito importantes na mecânica quântica. Os exercícios pedem para mostrar algumas propriedades dessas matrizes: que elas são operadores hermitianos e unitários, que o quadrado de cada uma delas é a matriz identidade, e que elas obedecem certas regras de multiplicação (anticomutatividade). Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que significa uma matriz ser hermitiana, unitária e entender como multiplicar matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz hermitiana. Uma matriz $ A $ é hermitiana se for igual à sua própria adjunta, ou seja, $ A = A^\dagger $. A adjunta de uma matriz é obtida transpondo a matriz e tomando o conjugado de cada elemento.
Vamos verificar se cada uma das matrizes de Pauli é hermitiana.

Passo 3

Vamos começar com $ \sigma_x $:
sigmax
A adjunta de $ \sigma_x $ é:
sigmax = 0 & 1 1 & 0
Então, $ \sigma_{x} $ é hermitiana.

Passo 4

Agora, $ \sigma_y $:
sigmay
A adjunta de $ \sigma_y $ é:
sigmay = 0 & -i i & 0
Portanto, $ \sigma_{y} $ também é hermitiana.

Passo 5

Por último, $ \sigma_z $:
sigmaz
A adjunta de $ \sigma_z $ é:
sigmaz = 1 & 0 0 & -1
Logo, $ \sigma_{z} $ é hermitiana.

Passo 6

Agora que mostramos que todas as matrizes de Pauli são hermitianas, vamos verificar que o quadrado de cada uma delas é a matriz identidade $ I_{2 \times 2} $.
Primeiro, calculando $ \sigma_x^2 $:
I2 times 2

Passo 7

Fazendo o mesmo para $ \sigma_y^2 $:
sigmay^2

Passo 8

E para $ \sigma_z^2 $:
sigmaz^2

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b): mostrar que as matrizes de Pauli são operadores unitários. Uma matriz é unitária se o seu inverso é igual ao seu adjunto, ou seja, $ U^{-1} = U^\dagger $.
Como já mostramos que as matrizes são hermitianas ($ U = U^\dagger $), para serem unitárias precisamos que:
U^-1 = U^dag>=r
Mas vimos no passo anterior que $ \sigma_{x}^2 = \sigma_{y}^2 = \sigma_{z}^2 = I $. Portanto:
U = U^dag>=r
O que confirma que elas são unitárias.

Passo 10

Por fim, vamos provar a parte ©, que envolve as regras de multiplicação das matrizes de Pauli, mostrando a anticomutatividade.
Vamos começar com $ \sigma_x \sigma_y $.
Primeiro, calculando $ \sigma_x \sigma_y $:
sigmax sigmay
Agora, calculando $ \sigma_y \sigma_x $:
sigmax sigmay
Portanto:
sigmax sigmay = 0 & 1 1 & 0 0 & -i i & 0 = (0)(0) + (1)(i) & (0)(-i) + (1)(0) (1)(0) + (0)(i) & (1)(-i) + (0)(0) = i & 0 0 & -i = i sigmaz

Passo 11

Vamos fazer o mesmo para $ \sigma_y \sigma_z $.
Calculando $ \sigma_y \sigma_z $:
sigmay sigmaz
E $ \sigma_z \sigma_y $:
sigmay sigmaz
Então:
sigmay sigmaz = 0 & -i i & 0 1 & 0 0 & -1 = (0)(1) + (-i)(0) & (0)(0) + (-i)(-1) (i)(1) + (0)(0) & (i)(0) + (0)(-1) = 0 & i i & 0 = i sigmax

Passo 12

Por último, vamos verificar $ \sigma_z \sigma_x $.
Calculando $ \sigma_z \sigma_x $:
sigmaz sigmax
E $ \sigma_x \sigma_z $:
sigmaz sigmax
Portanto:
sigmaz sigmax = 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0 = (1)(0) + (0)(1) & (1)(1) + (0)(0) (0)(0) + (-1)(1) & (0)(1) + (-1)(0) = 0 & 1 -1 & 0 = i sigmay

Resposta

Demonstramos que as matrizes de Pauli são operadores hermitianos e unitários, que o quadrado de cada uma delas é a matriz identidade $ I_{2 \times 2} $, e que elas obedecem as regras de multiplicação de anticomutatividade:
I2 times 2
sigmax sigmay = -sigmay sigmax = i sigmaz
sigmay sigmaz = -sigmaz sigmay = i sigmax

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