As matrizes de Pauli são um conjunto de três matrizes
que representam operadores fundamentais na mecânica quântica:
(a) Prove que as matrizes de Pauli são operadores hermitianos e que
.
(b) Mostre também que são operadores unitários.
© Prove que as matrizes de Pauli satisfazem as seguintes regras de multiplicação (anticomutatividade):
i.
ii.
iii.
(b) Mostre também que são operadores unitários.
© Prove que as matrizes de Pauli satisfazem as seguintes regras de multiplicação (anticomutatividade):
i.
ii.
iii.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que precisa ser feito aqui. A gente está trabalhando com as matrizes de Pauli, que são matrizes 2x2 muito importantes na mecânica quântica. Os exercícios pedem para mostrar algumas propriedades dessas matrizes: que elas são operadores hermitianos e unitários, que o quadrado de cada uma delas é a matriz identidade, e que elas obedecem certas regras de multiplicação (anticomutatividade). Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que significa uma matriz ser hermitiana, unitária e entender como multiplicar matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz hermitiana. Uma matriz $ A $ é hermitiana se for igual à sua própria adjunta, ou seja, $ A = A^\dagger $. A adjunta de uma matriz é obtida transpondo a matriz e tomando o conjugado de cada elemento.
Vamos verificar se cada uma das matrizes de Pauli é hermitiana.
Passo 3
Vamos começar com $ \sigma_x $:
A adjunta de $ \sigma_x $ é:
Então, $ \sigma_{x} $ é hermitiana.
Passo 4
Agora, $ \sigma_y $:
A adjunta de $ \sigma_y $ é:
Portanto, $ \sigma_{y} $ também é hermitiana.
Passo 5
Por último, $ \sigma_z $:
A adjunta de $ \sigma_z $ é:
Logo, $ \sigma_{z} $ é hermitiana.
Passo 6
Agora que mostramos que todas as matrizes de Pauli são hermitianas, vamos verificar que o quadrado de cada uma delas é a matriz identidade $ I_{2 \times 2} $.
Primeiro, calculando $ \sigma_x^2 $:
Passo 7
Fazendo o mesmo para $ \sigma_y^2 $:
Passo 8
E para $ \sigma_z^2 $:
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b): mostrar que as matrizes de Pauli são operadores unitários. Uma matriz é unitária se o seu inverso é igual ao seu adjunto, ou seja, $ U^{-1} = U^\dagger $.
Como já mostramos que as matrizes são hermitianas ($ U = U^\dagger $), para serem unitárias precisamos que:
Mas vimos no passo anterior que $ \sigma_{x}^2 = \sigma_{y}^2 = \sigma_{z}^2 = I $. Portanto:
O que confirma que elas são unitárias.
Passo 10
Por fim, vamos provar a parte ©, que envolve as regras de multiplicação das matrizes de Pauli, mostrando a anticomutatividade.
Vamos começar com $ \sigma_x \sigma_y $.
Primeiro, calculando $ \sigma_x \sigma_y $:
Agora, calculando $ \sigma_y \sigma_x $:
Portanto:
Passo 11
Vamos fazer o mesmo para $ \sigma_y \sigma_z $.
Calculando $ \sigma_y \sigma_z $:
E $ \sigma_z \sigma_y $:
Então:
Passo 12
Por último, vamos verificar $ \sigma_z \sigma_x $.
Calculando $ \sigma_z \sigma_x $:
E $ \sigma_x \sigma_z $:
Portanto:
Resposta
Demonstramos que as matrizes de Pauli são operadores hermitianos e unitários, que o quadrado de cada uma delas é a matriz identidade $ I_{2 \times 2} $, e que elas obedecem as regras de multiplicação de anticomutatividade: