Decompor as funções dadas em frações parciais.
5.1 Seja a função
definida por
. Demonstrar que existem três números reais
tais que
5.1 Seja a função
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de frações parciais. A ideia aqui é pegar uma fração complicada e quebrar ela em partes mais simples que a gente entende melhor. A gente vai precisar entender como decompor a função dada em frações menores. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função que a gente quer decompor:
A gente quer expressar essa função da seguinte maneira:
Onde a, b e c são números que vamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum, que é
. Isso vai simplificar as coisas:
Passo 4
Vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
-
Expanda
: Então: -
Expanda
: Então: -
O termo
já está simplificado:
Agora, juntando tudo:
Vamos organizar os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
-
Coeficiente de
: -
Coeficiente de
: -
Termo constante:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo:
-
Da primeira equação:
-
Substituindo
na segunda equação: -
Substituindo
na terceira equação:
Agora temos:
Somando as duas equações para eliminar
:
Substituindo
na equação
:
E, lembrando que
:
Resposta
Os números reais são
,
e
.