Decompor as funções dadas em frações parciais.
5.1 Seja a função definida por . Demonstrar que existem três números reais tais que
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de frações parciais. A ideia aqui é pegar uma fração complicada e quebrar ela em partes mais simples que a gente entende melhor. A gente vai precisar entender como decompor a função dada em frações menores. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função que a gente quer decompor:
A gente quer expressar essa função da seguinte maneira:
Onde a, b e c são números que vamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum, que é . Isso vai simplificar as coisas:
Passo 4
Vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
Expanda :
Então:
Expanda :
Então:
O termo já está simplificado:
Agora, juntando tudo:
Vamos organizar os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Termo constante:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo: