Decompor as funções dadas em frações parciais.
5.1 Seja a função f:(1,+infty) R definida por f(x)=5 x^2+21 x+22(x-1)(x+3)^2. Demonstrar que existem três números reais a, b, c in R tais que
f(x)=5 x^2+21 x+22(x-1)(x+3)^2=ax-1+bx+3+c(x+3)^2

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de frações parciais. A ideia aqui é pegar uma fração complicada e quebrar ela em partes mais simples que a gente entende melhor. A gente vai precisar entender como decompor a função dada em frações menores. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função que a gente quer decompor:
f(x) = 5x^2 + 21x + 22(x - 1)(x + 3)^2
A gente quer expressar essa função da seguinte maneira:
f(x) = ax - 1 + bx + 3 + c(x + 3)^2
Onde a, b e c são números que vamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum, que é 5x^2 + 21x + 22 = a(x + 3)^2 + b(x - 1)(x + 3) + c(x - 1) . Isso vai simplificar as coisas:

Passo 4

Vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
  1. Expanda (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 :
    a(x + 3)^2 = a x^2 + 6a x + 9a
    Então:
    (x - 1)(x + 3) = x^2 + 2x - 3
  2. Expanda b(x - 1)(x + 3) = b x^2 + 2b x - 3b :
    c(x - 1) = c x - c
    Então:
    a x^2 + 6a x + 9a + b x^2 + 2b x - 3b + c x - c
  3. O termo (a + b) x^2 + (6a + 2b + c) x + (9a - 3b - c) já está simplificado:
Agora, juntando tudo:
Vamos organizar os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Coeficiente de a + b = 5 :
    6a + 2b + c = 21
  2. Coeficiente de 9a - 3b - c = 22 :
  3. Termo constante:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo:
  1. Da primeira equação:
    b = 5 - a
  2. Substituindo 6a + 2(5 - a) + c = 21 6a + 10 - 2a + c = 21 4a + c = 11 na segunda equação:
    9a - 3(5 - a) - c = 22 9a - 15 + 3a - c = 22 12a - c = 37
  3. Substituindo 4a + c = 11 12a - c = 37 na terceira equação:
    16a = 48 a = 3
Agora temos:
4(3) + c = 11 12 + c = 11 c = -1
Somando as duas equações para eliminar b = 5 - 3 = 2 :
Substituindo na equação :
E, lembrando que :

Resposta

Os números reais são , e .

Exercícios relacionados

Para quais valores de a as matrizes abaixo são diagonalizáveis? A=[ll1 & 1 0 & a]
Discutar os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
2.10 x0+2 x1+ 4 x2 & =1 x1-9 x2 & =-2 (9 k-36) x2 & =h+2 k-10
Determine se os seguintes conjuntos são subesespaços vetoriais (sobre R ). O conjunto dos vetores de R^n cujas primeiras k coordenadas são iguais.
Efetuar o balanceamento das equações químicas abaixo indicadas.
8.2 KHC8 H4 O4+KOH longrightarrow K2 C8 H4 O4+H2 O