Para quais valores de
as matrizes abaixo são diagonalizáveis?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma matriz
e precisamos descobrir para quais valores de
essa matriz é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de diagonalização de matrizes, que basicamente envolve encontrar os autovalores e autovetores da matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Para isso, usamos a equação característica, que é dada por:
onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 4
Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Isso nos dá dois autovalores possíveis:
Passo 5
Para a matriz ser diagonalizável, ela precisa ter uma quantidade de autovetores linearmente independentes igual ao tamanho da matriz, ou seja, 2 autovetores nesse caso. Isso acontece se os autovalores forem distintos ou, se forem iguais, a multiplicidade geométrica for igual à multiplicidade algébrica.
Passo 6
Vamos analisar os casos:
-
Se
: - Temos dois autovalores distintos (
e ), então a matriz é diagonalizável.
- Temos dois autovalores distintos (
-
Se
: - Ambos os autovalores são iguais a
. Precisamos verificar a multiplicidade geométrica. - Calculando os autovetores para
: O sistema resultante é , ou seja, . Então, os autovetores têm a forma . - Isso mostra que só há um autovetor independente, então a matriz não é diagonalizável quando
.
- Ambos os autovalores são iguais a
Resposta
A matriz
é diagonalizável para todos os valores de
exceto quando
.