Para quais valores de a as matrizes abaixo são diagonalizáveis? A=[ll1 & 1 0 & a]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma matriz A = 1 & 1 0 & a e precisamos descobrir para quais valores de a essa matriz é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de diagonalização de matrizes, que basicamente envolve encontrar os autovalores e autovetores da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A. Para isso, usamos a equação característica, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 3

Vamos calcular A - lambda I:
A - lambda I = 1 - lambda & 1 0 & a - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(a - lambda) - (1)(0) = (1 - lambda)(a - lambda)

Passo 4

Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:
(1 - lambda)(a - lambda) = 0
Isso nos dá dois autovalores possíveis:
lambda1 = 1 e lambda2 = a

Passo 5

Para a matriz ser diagonalizável, ela precisa ter uma quantidade de autovetores linearmente independentes igual ao tamanho da matriz, ou seja, 2 autovetores nesse caso. Isso acontece se os autovalores forem distintos ou, se forem iguais, a multiplicidade geométrica for igual à multiplicidade algébrica.

Passo 6

Vamos analisar os casos:
  1. Se a neq 1:
    • Temos dois autovalores distintos ( 1 e a), então a matriz é diagonalizável.
  2. Se a = 1:
    • Ambos os autovalores são iguais a 1. Precisamos verificar a multiplicidade geométrica.
    • Calculando os autovetores para lambda = 1: A - I = 0 & 1 0 & 0 O sistema resultante é 0x + y = 0, ou seja, y = 0. Então, os autovetores têm a forma x 0.
    • Isso mostra que só há um autovetor independente, então a matriz não é diagonalizável quando a = 1.

Resposta

A matriz A é diagonalizável para todos os valores de a exceto quando a = 1.

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