Discutar os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar um sistema de equações lineares que depende de alguns parâmetros, especificamente e . A gente vai precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações, manipulação de equações e análise de soluções dependendo dos parâmetros. Vamos resolver isso passo a passo para entender como os valores de e influenciam as soluções do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações como ele está:
Vamos simplificar a terceira equação. Observamos que podemos fatorar o coeficiente de (9k - 36)x2 = h + 2k - 10 9(k - 4)x2 = h + 2k - 10 :
x2 = h + 2k - 109(k - 4)
Então, a equação fica:
Aqui, precisamos ter cuidado com o denominador. Se , o denominador vira zero, e a equação pode não ter solução ou ter infinitas soluções dependendo do numerador.
Passo 4
Vamos analisar dois casos: quando x2 = h + 2k - 109(k - 4) e quando x1 - 9( h + 2k - 109(k - 4) ) = -2 x1 - h + 2k - 10k - 4 = -2 x1 = -2 + h + 2k - 10k - 4 .
Caso 1: x0 + 2( -2 + h + 2k - 10k - 4 ) + 4( h + 2k - 109(k - 4) ) = 1
Nesse caso, o denominador não é zero, então podemos resolver para x2 = h + 2(4) - 109(4 - 4) = h + 8 - 100 = h - 20 :
Com conhecido, podemos substituir na segunda equação para encontrar :
Agora, substituímos e na primeira equação para encontrar :
Essa equação nos dá em termos de e , garantindo que há uma solução única para o sistema quando .
Caso 2:
Aqui, o denominador na equação de é zero:
Isso nos leva a duas sub-hipóteses:
Subcaso 2.1:
Se , a equação não tem solução, ou seja, o sistema é inconsistente e não tem solução.
Subcaso 2.2:
Se , ou seja, , a equação se torna , o que não nos dá informação sobre . Nesse caso, temos infinitas soluções para o sistema, pois o sistema fica dependente.
Resposta
O sistema de equações tem uma solução única para todos os valores de diferente de 4. Quando :
Se , o sistema não tem solução.
Se , o sistema possui infinitas soluções.
Portanto, as soluções dependem dos valores de e conforme descrito acima.