Deduza uma equação da hipérbole b) de focos
e
e vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de hipérbole! O enunciado pede para deduzirmos a equação da hipérbole que tem focos em
e
, e vértices em
e
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica, como a definição de uma hipérbole em termos de seus focos e vértices.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Como os focos estão em
e
, o centro será o ponto médio entre eles.
Então, o centro é na origem.
Passo 3
Em seguida, vamos determinar a distância entre o centro e um dos vértices, que chamaremos de
. Os vértices estão em
e
, então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a distância entre o centro e um dos focos, que chamaremos de
. Usando o foco
:
Passo 5
Sabemos que, para uma hipérbole, a relação entre
,
e
é:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Agora, como o centro está na origem e os vértices estão ao longo da linha
, a hipérbole está inclinada em 45 graus em relação aos eixos. Para simplificar, podemos aplicar uma rotação de coordenadas para alinhar a hipérbole com os eixos principais.
Após a rotação, a equação padrão da hipérbole será:
Substituindo
e
:
Passo 7
Voltando às coordenadas originais, considerando a rotação de 45 graus, usamos as relações:
Substituindo esses na equação da hipérbole:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 12 para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Dividindo todos os termos por 2:
Resposta
A equação da hipérbole é: