Deduza uma equação da hipérbole b) de focos F(2.2) e F:(-2 -2) e vértices A(1.1) e A,(-1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de hipérbole! O enunciado pede para deduzirmos a equação da hipérbole que tem focos em e , e vértices em e . Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica, como a definição de uma hipérbole em termos de seus focos e vértices.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Como os focos estão em Centro (h, k) = ( 2 + (-2)2, 2 + (-2)2 ) = (0, 0) e , o centro será o ponto médio entre eles.
Então, o centro é na origem.

Passo 3

Em seguida, vamos determinar a distância entre o centro e um dos vértices, que chamaremos de a = raiz(1-0)^2 + (1-0)^2 = raiz1 + 1 = raiz2 . Os vértices estão em e , então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a distância entre o centro e um dos focos, que chamaremos de c = raiz(2-0)^2 + (2-0)^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2 . Usando o foco :

Passo 5

Sabemos que, para uma hipérbole, a relação entre c^2 = a^2 + b^2 , (2raiz2)^2 = (raiz2)^2 + b^2 8 = 2 + b^2 b^2 = 6 e é:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Agora, como o centro está na origem e os vértices estão ao longo da linha x'^2a^2 - y'^2b^2 = 1 , a hipérbole está inclinada em 45 graus em relação aos eixos. Para simplificar, podemos aplicar uma rotação de coordenadas para alinhar a hipérbole com os eixos principais.
Após a rotação, a equação padrão da hipérbole será:
x'^22 - y'^26 = 1
Substituindo e :

Passo 7

Voltando às coordenadas originais, considerando a rotação de 45 graus, usamos as relações:
x' = x + yraiz2 y' = -x + yraiz2
Substituindo esses na equação da hipérbole:
(x + yraiz2)^22 - (-x + yraiz2)^26 = 1
Simplificando:
(x + y)^24 - (x - y)^212 = 1
Multiplicando todos os termos por 12 para eliminar os denominadores:
3(x + y)^2 - (x - y)^2 = 12
Expandindo os termos:
3(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 12 3x^2 + 6xy + 3y^2 - x^2 + 2xy - y^2 = 12 2x^2 + 8xy + 2y^2 = 12
Dividindo todos os termos por 2:
x^2 + 4xy + y^2 = 6

Resposta

A equação da hipérbole é:
x^2 + 4xy + y^2 = 6

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