Determine
de modo a obter
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o valor de
de maneira que as seguintes equações sejam verdadeiras:
Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente o cosseno (
) e a cosecante (
). Para resolver isso, vamos precisar utilizar identidades trigonométricas básicas e algumas operações algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com a primeira equação:
Sabemos que a função cosecante é o inverso da função seno (
), ou seja:
Mas também sabemos que, em trigonometria, existe a identidade fundamental:
Vamos usar essa identidade para encontrar
em termos de
.
Passo 3
A partir da identidade
, podemos isolar
:
Substituindo
pela expressão que temos:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 4
Agora que temos
, podemos encontrar
:
De acordo com a segunda equação do exercício:
Portanto, igualamos as duas expressões para
:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para
. Primeiro, vamos inverter ambos os lados para simplificar:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando o lado direito:
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Simplificando o lado esquerdo:
Expandindo ambos os lados:
Simplificando:
Passo 6
Subtraindo
de ambos os lados:
Simplificando:
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Seja
, então
. Substituindo:
Passo 7
Essa é uma equação polinomial de quarto grau, que pode ser complicada de resolver diretamente. Vamos tentar encontrar soluções racionais possíveis testando valores para
.
Testando
:
Testando
:
Testando
:
Como não encontramos soluções racionais fáceis, podemos tentar fatorar ou usar métodos numéricos. No entanto, para simplificar, vamos considerar que
deve ser um número positivo real, já que envolve uma raiz quadrada.
Passo 8
Vamos voltar à equação original e tentar resolver de outra forma. Observando que
é positivo, podemos tentar expressar tudo em termos de
.
Do passo anterior:
Substituindo
:
Agora, vamos tentar fatorar:
Não parece uma fatoração fácil. Então, vamos tentar resolver numericamente. Vamos supor que
está entre 1 e 2.
Testando
:
Testando
:
Como há uma mudança de sinal entre
e
, há uma raiz nesse intervalo. Podemos aproximar
usando o método da bissecção ou outro método numérico, mas para simplificar, vamos estimar
.
Passo 9
Assumindo
, então:
Vamos verificar se esse valor satisfaz as equações originais:
Primeira equação:
Segunda equação:
Agora, calculando
diretamente a partir de
:
Então,
Há uma pequena discrepância, o que indica que
está próximo de 2.56, mas para maior precisão, precisaríamos usar métodos numéricos mais avançados.
Resposta
O valor aproximado de
que satisfaz as equações dadas é
.