Determine a de modo a obter cos x=1a+1 e cossec x=a+1raiza+2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o valor de cos x = 1a + 1 e cosec x = a + 1raiza + 2 de maneira que as seguintes equações sejam verdadeiras:
Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente o cosseno ( ) e a cosecante ( ). Para resolver isso, vamos precisar utilizar identidades trigonométricas básicas e algumas operações algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com a primeira equação:
cos x = 1a + 1
Sabemos que a função cosecante é o inverso da função seno ( cosec x = 1sin x ), ou seja:
sin^2 x + cos^2 x = 1
Mas também sabemos que, em trigonometria, existe a identidade fundamental:
Vamos usar essa identidade para encontrar em termos de .

Passo 3

A partir da identidade sin^2 x = 1 - cos^2 x , podemos isolar sin^2 x = 1 - ( 1a + 1 )^2 = 1 - 1(a + 1)^2 :
sin x = raiz1 - 1(a + 1)^2
Substituindo pela expressão que temos:
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 4

Agora que temos cosec x = 1sin x = 1raiz1 - 1(a + 1)^2 , podemos encontrar cosec x = a + 1raiza + 2 :
1raiz1 - 1(a + 1)^2 = a + 1raiza + 2
De acordo com a segunda equação do exercício:
Portanto, igualamos as duas expressões para :

Passo 5

Vamos resolver essa equação para raiz1 - 1(a + 1)^2 = raiza + 2a + 1 . Primeiro, vamos inverter ambos os lados para simplificar:
1 - 1(a + 1)^2 = ( raiza + 2a + 1 )^2
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
1 - 1(a + 1)^2 = (raiza + 2)^2(a + 1)^2
Simplificando o lado direito:
(a + 1)^2 (1 - 1(a + 1)^2) = (raiza + 2)^2
Multiplicamos ambos os lados por (a + 1)^2 - 1 = (raiza + 2)^2 para eliminar o denominador:
(a^2 + 2a + 1) - 1 = a + 4raiza + 4
Simplificando o lado esquerdo:
a^2 + 2a = a + 4raiza + 4
Expandindo ambos os lados:
Simplificando:

Passo 6

Subtraindo a^2 + 2a - a - 4raiza - 4 = 0 de ambos os lados:
a^2 + a - 4raiza - 4 = 0
Simplificando:
t^4 + t^2 - 4t - 4 = 0
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Seja , então . Substituindo:

Passo 7

Essa é uma equação polinomial de quarto grau, que pode ser complicada de resolver diretamente. Vamos tentar encontrar soluções racionais possíveis testando valores para 2^4 + 2^2 - 4(2) - 4 = 16 + 4 - 8 - 4 = 8 neq 0 .
Testando 1^4 + 1^2 - 4(1) - 4 = 1 + 1 - 4 - 4 = -6 neq 0 :
(-1)^4 + (-1)^2 - 4(-1) - 4 = 1 + 1 + 4 - 4 = 2 neq 0
Testando :
Testando :
Como não encontramos soluções racionais fáceis, podemos tentar fatorar ou usar métodos numéricos. No entanto, para simplificar, vamos considerar que deve ser um número positivo real, já que envolve uma raiz quadrada.

Passo 8

Vamos voltar à equação original e tentar resolver de outra forma. Observando que a^2 + a - 4raiza - 4 = 0 é positivo, podemos tentar expressar tudo em termos de t^4 + t^2 - 4t - 4 = 0 .
Do passo anterior:
t^4 + t^2 - 4t - 4 = (t^4 + t^2) - (4t + 4) = t^2(t^2 + 1) - 4(t + 1)
Substituindo 1.5^4 + 1.5^2 - 4(1.5) - 4 = 5.0625 + 2.25 - 6 - 4 = -2.6875 :
1.8^4 + 1.8^2 - 4(1.8) - 4 approx 10.4976 + 3.24 - 7.2 - 4 = 2.5376
Agora, vamos tentar fatorar:
Não parece uma fatoração fácil. Então, vamos tentar resolver numericamente. Vamos supor que está entre 1 e 2.
Testando :
Testando :
Como há uma mudança de sinal entre e , há uma raiz nesse intervalo. Podemos aproximar usando o método da bissecção ou outro método numérico, mas para simplificar, vamos estimar .

Passo 9

Assumindo raiza approx 1.6 Rightarrow a approx (1.6)^2 = 2.56 , então:
cos x = 12.56 + 1 = 13.56 approx 0.2817
Vamos verificar se esse valor satisfaz as equações originais:
Primeira equação:
cosec x = 2.56 + 1raiz2.56 + 2 = 3.561.6 + 2 = 3.563.6 approx 0.9889
Segunda equação:
sin x = raiz1 - cos^2 x = raiz1 - 0.2817^2 approx raiz1 - 0.0793 = raiz0.9207 approx 0.9599
Agora, calculando cosec x = 10.9599 approx 1.0415 diretamente a partir de :
Então,
Há uma pequena discrepância, o que indica que está próximo de 2.56, mas para maior precisão, precisaríamos usar métodos numéricos mais avançados.

Resposta

O valor aproximado de que satisfaz as equações dadas é .

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