Sejam S, T: R^2 R^2 operadores lineares dados por S(x, y)=(0, x) e T(x, y)=(x, 0). Mostre que T circ S=0, mas S circ T neq 0. Mostre também que T^2=T. O operador T é inversível? Justifique.

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício sobre operadores lineares. Temos dois operadores, e , que atuam no espaço . O objetivo é mostrar que a composição resulta no operador zero, que não é o operador zero, que , e determinar se é inversível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são operadores lineares, como compô-los e as propriedades de operadores inversíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são operadores lineares. Um operador linear é uma função que satisfaz duas propriedades:
  1. Homogeneidade: para todo escalar e vetor .
  2. Aditividade: para todos os vetores e .
Aqui, e são operadores lineares.

Passo 3

Vamos calcular S(x, y) = (0, x) . A composição T(S(x, y)) = T(0, x) = (0, 0) significa que aplicamos primeiro e depois no resultado. Seja um vetor em :
Agora, aplicamos ao resultado de :
Ou seja, para qualquer vetor , . Portanto, é o operador zero, denotado por .

Passo 4

Agora, vamos calcular T(x, y) = (x, 0) . A composição S(T(x, y)) = S(x, 0) = (0, x) significa que aplicamos primeiro e depois no resultado. Seja um vetor em :
Agora, aplicamos ao resultado de :
Portanto, , que não é o operador zero, já que não envia todos os vetores para .

Passo 5

Vamos verificar se T(T(x, y)) = T(x, 0) = (x, 0) . significa a composição de com ele mesmo:
Comparando com , vemos que . Portanto, .

Passo 6

Para determinar se o operador T circ T^-1 = I Rightarrow T^-1 = T é inversível, precisamos verificar se existe um operador linear T circ T = T neq I tal que , onde é o operador identidade.
Sabemos que . Se fosse inversível, teríamos:
Mas substituindo na equação:
Portanto, não existe um operador que satisfaça a condição de inversibilidade para . Logo, não é inversível.

Resposta

Concluímos que , , , e o operador não é inversível.

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