Sejam operadores lineares dados por e . Mostre que , mas S circ T neq 0. Mostre também que T^2=T. O operador T é inversível? Justifique.
Passo 1
Então, vamos resolver um exercício sobre operadores lineares. Temos dois operadores, e , que atuam no espaço . O objetivo é mostrar que a composição resulta no operador zero, que não é o operador zero, que , e determinar se é inversível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são operadores lineares, como compô-los e as propriedades de operadores inversíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são operadores lineares. Um operador linear é uma função que satisfaz duas propriedades:
Homogeneidade: para todo escalar e vetor .
Aditividade: para todos os vetores e .
Aqui, e são operadores lineares.
Passo 3
Vamos calcular S(x, y) = (0, x) . A composição T(S(x, y)) = T(0, x) = (0, 0) significa que aplicamos primeiro e depois no resultado. Seja um vetor em :
Agora, aplicamos ao resultado de :
Ou seja, para qualquer vetor , . Portanto, é o operador zero, denotado por .
Passo 4
Agora, vamos calcular T(x, y) = (x, 0) . A composição S(T(x, y)) = S(x, 0) = (0, x) significa que aplicamos primeiro e depois no resultado. Seja um vetor em :
Agora, aplicamos ao resultado de :
Portanto, , que não é o operador zero, já que não envia todos os vetores para .
Passo 5
Vamos verificar se T(T(x, y)) = T(x, 0) = (x, 0) . significa a composição de com ele mesmo:
Comparando com , vemos que . Portanto, .
Passo 6
Para determinar se o operador T circ T^-1 = I Rightarrow T^-1 = T é inversível, precisamos verificar se existe um operador linear T circ T = T neq I tal que , onde é o operador identidade.
Sabemos que . Se fosse inversível, teríamos:
Mas substituindo na equação:
Portanto, não existe um operador que satisfaça a condição de inversibilidade para . Logo, não é inversível.
Resposta
Concluímos que , , , e o operador não é inversível.