Deduza uma equação da parábola que contém os pontos e e tem eixo paralelo ao eixo .
Dica: Use que toda parabola que possui eixo paralelo ao eixo y, tem uma equação da forma
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que passa pelos pontos , e , e que tem o eixo paralelo ao eixo . Isso significa que a equação vai ter a forma . Para resolver, vamos precisar usar álgebra para achar os valores de , e que fazem a equação passar por esses três pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o fato de que a parábola passa pelo ponto . Substituindo e na equação , temos:
Simplificando:
Essa é nossa primeira equação.
Passo 3
Agora, vamos usar o ponto . Substituindo e na equação, temos:
Simplificando:
Essa é a segunda equação.
Passo 4
Por último, vamos usar o ponto . Substituindo e na equação, temos:
Simplificando:
Essa é a terceira equação.
Passo 5
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, podemos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar o c:
12 - 2 = (a - b + c) - (a + b + c)
10 = -2b
Então, b = -5.
Passo 6
Com b = -5, vamos substituir na segunda equação para encontrar uma relação entre a e c:
2 = a + (-5) + c
2 = a - 5 + c
a + c = 7
Passo 7
Agora, substituímos b = -5 na terceira equação para achar outra relação:
0 = 4a + 2(-5) + c
0 = 4a - 10 + c
4a + c = 10
Passo 8
Temos agora duas equações:
a + c = 7 4a + c = 10
Vamos subtrair a primeira da segunda para eliminar c:
4a + c - (a + c) = 10 - 7
3a = 3
Então, a = 1.
Passo 9
Com a = 1, voltamos na equação a + c = 7 para encontrar c: