Deduza uma equação da parábola que contém os pontos (-1,12),(1,2) e (2,0) e tem eixo paralelo ao eixo y.
Dica: Use que toda parabola que possui eixo paralelo ao eixo y, tem uma equação da forma y=a x^2+b x+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que passa pelos pontos (-1,12), (1,2) e (2,0), e que tem o eixo paralelo ao eixo y. Isso significa que a equação vai ter a forma y = a x^2 + b x + c. Para resolver, vamos precisar usar álgebra para achar os valores de a, b e c que fazem a equação passar por esses três pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o fato de que a parábola passa pelo ponto (-1,12). Substituindo x = -1 e y = 12 na equação y = a x^2 + b x + c, temos:
12 = a (-1)^2 + b (-1) + c
Simplificando:
12 = a - b + c
Essa é nossa primeira equação.

Passo 3

Agora, vamos usar o ponto (1,2). Substituindo x = 1 e y = 2 na equação, temos:
2 = a (1)^2 + b (1) + c
Simplificando:
2 = a + b + c
Essa é a segunda equação.

Passo 4

Por último, vamos usar o ponto (2,0). Substituindo x = 2 e y = 0 na equação, temos:
0 = a (2)^2 + b (2) + c
Simplificando:
0 = 4a + 2b + c
Essa é a terceira equação.

Passo 5

Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
12 = a - b + c 2 = a + b + c 0 = 4a + 2b + c
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, podemos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar o c:
12 - 2 = (a - b + c) - (a + b + c)
10 = -2b
Então, b = -5.

Passo 6

Com b = -5, vamos substituir na segunda equação para encontrar uma relação entre a e c:
2 = a + (-5) + c
2 = a - 5 + c
a + c = 7

Passo 7

Agora, substituímos b = -5 na terceira equação para achar outra relação:
0 = 4a + 2(-5) + c
0 = 4a - 10 + c
4a + c = 10

Passo 8

Temos agora duas equações:
a + c = 7 4a + c = 10
Vamos subtrair a primeira da segunda para eliminar c:
4a + c - (a + c) = 10 - 7
3a = 3
Então, a = 1.

Passo 9

Com a = 1, voltamos na equação a + c = 7 para encontrar c:
1 + c = 7
c = 6

Resposta

A equação da parábola é y = x^2 - 5x + 6.

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