Mostre que se -a e y0=f(x0), a equação da reta que contém (x0, y0) e cuja declividade é f^prime(x0) é dada por
x x0a^2+y y0b^2=1
Esta reta é chamada de tangente a elipse
x^2a^2+y^2b^2=1
no ponto (x0, y0)
*Para qualquer exercício que solicite equação de reta tangente a elipse, utilize as informaçoes no exercício acima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que a equação da reta tangente à elipse x x0a^2 + y y0b^2 = 1 no ponto , onde e , é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre tangentes a curvas, e derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. Em termos simples, a reta tangente a uma curva em um ponto específico é a reta que “toca” a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva naquele exato ponto.
No nosso caso, queremos a reta que toca a elipse no ponto . Para encontrar essa reta, precisamos saber sua inclinação, que é a derivada da função no ponto , ou seja, .

Passo 3

Vamos encontrar a equação da reta tangente usando a derivada. A forma geral da equação de uma reta com inclinação y - y0 = m (x - x0) que passa pelo ponto 2xa^2 + 2yb^2 cdot dydx = 0 é:
dydx = -b^2 xa^2 y
Aqui, f'(x0) = -b^2 x0a^2 y0 . Mas para a elipse, a derivada pode ser encontrada a partir da derivada implícita da equação da elipse.
Derivando em relação a , temos:
Isolando , obtemos:
Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto é:

Passo 4

Agora, substituímos y - y0 = -b^2 x0a^2 y0 (x - x0) na equação da reta tangente:
y y0 = -b^2 x0a^2 x + b^2 x0^2a^2 + y0^2
Vamos rearranjar essa equação para chegar à forma desejada:
a^2 y y0 = -b^2 x0 x + b^2 x0^2 + a^2 y0^2
Multiplicando todos os termos por b^2 x0 x + a^2 y y0 = b^2 x0^2 + a^2 y0^2 para simplificar:
x x0a^2 + y y0b^2 = 1
Agora, rearranjando para organizar os termos:
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

Portanto, mostramos que a equação da reta tangente à elipse x x0a^2 + y y0b^2 = 1 no ponto é:

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