Mostre que se
e
, a equação da reta que contém
e cuja declividade é
é dada por
Esta reta é chamada de tangente a elipse
no ponto
*Para qualquer exercício que solicite equação de reta tangente a elipse, utilize as informaçoes no exercício acima.
*Para qualquer exercício que solicite equação de reta tangente a elipse, utilize as informaçoes no exercício acima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que a equação da reta tangente à elipse
no ponto
, onde
e
, é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre tangentes a curvas, e derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. Em termos simples, a reta tangente a uma curva em um ponto específico é a reta que “toca” a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva naquele exato ponto.
No nosso caso, queremos a reta que toca a elipse
no ponto
. Para encontrar essa reta, precisamos saber sua inclinação, que é a derivada da função no ponto
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos encontrar a equação da reta tangente usando a derivada. A forma geral da equação de uma reta com inclinação
que passa pelo ponto
é:
Aqui,
. Mas para a elipse, a derivada
pode ser encontrada a partir da derivada implícita da equação da elipse.
Derivando
em relação a
, temos:
Isolando
, obtemos:
Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto
é:
Passo 4
Agora, substituímos
na equação da reta tangente:
Vamos rearranjar essa equação para chegar à forma desejada:
Multiplicando todos os termos por
para simplificar:
Agora, rearranjando para organizar os termos:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
Portanto, mostramos que a equação da reta tangente à elipse
no ponto
é: