Deduza a equação da reta perpendicular à tangente à elipse
x^2a^2+y^2b^2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para deduzirmos a equação da reta que é perpendicular à tangente de uma elipse dada pela equação . Basicamente, queremos encontrar a equação da reta normal à elipse. Para resolver isso, vamos precisar entender derivadas para achar a inclinação da tangente e, a partir daí, determinar a inclinação da reta perpendicular (normal). Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada da elipse para obter a inclinação da tangente em qualquer ponto ddx(x^2a^2 + y^2b^2) = ddx(1) da elipse. Vamos derivar implicitamente a equação da elipse em relação a :

Passo 3

Calculando a derivada:
2xa^2 + 2yb^2 cdot dydx = 0
Agora, isolamos dydx = -b^2 xa^2 y :
mt = -b^2 xa^2 y
Então, a inclinação da tangente ( ) é:

Passo 4

Como queremos a reta perpendicular à tangente, precisamos da inclinação da normal ( mt cdot mn = -1 ). Sabemos que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for -b^2 xa^2 y cdot mn = -1 . Então:
mn = a^2 yb^2 x
Substituindo :
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, temos a inclinação da normal. A equação da reta normal em um ponto específico y - y0 = mn (x - x0) da elipse pode ser escrita usando a forma ponto-inclinação:
y - y0 = a^2 y0b^2 x0 (x - x0)
Substituindo :

Passo 6

Simplificando a equação:
Multiplicamos ambos os lados por b^2 x0 (y - y0) = a^2 y0 (x - x0) :
b^2 x0 y - b^2 x0 y0 = a^2 y0 x - a^2 y0 x0
Distribuindo:
a^2 y0 x - b^2 x0 y = a^2 y0 x0 - b^2 x0 y0
Rearranjando os termos:
a^2 y0 x - b^2 x0 y = (a^2 y0 x0 - b^2 x0 y0)
Fatorando:

Resposta

Então, a equação da reta perpendicular à tangente à elipse a^2 y0 x - b^2 x0 y = a^2 y0 x0 - b^2 x0 y0 em um ponto a^2 y0 x - b^2 x0 y = 0 é:
Ou, de forma simplificada:

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