Deduza a equação da reta perpendicular à tangente à elipse
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para deduzirmos a equação da reta que é perpendicular à tangente de uma elipse dada pela equação
. Basicamente, queremos encontrar a equação da reta normal à elipse. Para resolver isso, vamos precisar entender derivadas para achar a inclinação da tangente e, a partir daí, determinar a inclinação da reta perpendicular (normal). Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a derivada da elipse para obter a inclinação da tangente em qualquer ponto
da elipse. Vamos derivar implicitamente a equação da elipse em relação a
:
Passo 3
Calculando a derivada:
Agora, isolamos
:
Então, a inclinação da tangente (
) é:
Passo 4
Como queremos a reta perpendicular à tangente, precisamos da inclinação da normal (
). Sabemos que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for
. Então:
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, temos a inclinação da normal. A equação da reta normal em um ponto específico
da elipse pode ser escrita usando a forma ponto-inclinação:
Substituindo
:
Passo 6
Simplificando a equação:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Distribuindo:
Rearranjando os termos:
Fatorando:
Resposta
Então, a equação da reta perpendicular à tangente à elipse
em um ponto
é:
Ou, de forma simplificada: