Os quatro primeiros polinômios de Hermite são 1, e . Esses polinômios surgem naturalmente no estudo de certas equações diferenciais importantes em Física-Matemática. Mostre que os quatro primeiros polinômios de Hermite formam uma base para o espaço .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem quatro polinômios de Hermite: , , e . O problema quer que a gente mostre que esses polinômios formam uma base para o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3. Para resolver isso, a gente precisa verificar se esses polinômios são lineares e se eles conseguem “gerar” qualquer polinômio de grau até 3. Basicamente, vamos ver se eles são independentes e se cobrem todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base. Para um conjunto de vetores (ou polinômios) ser uma base, eles precisam ser linearmente independentes e gerar todo o espaço. Aqui, linearmente independentes quer dizer que nenhum polinômio pode ser escrito como uma combinação dos outros, e gerar significa que qualquer polinômio de grau até 3 pode ser escrito como uma combinação desses quatro polinômios de Hermite.
Passo 3
Vamos verificar a independência linear. Para isso, consideramos uma combinação linear igual a zero:
Isso deve ser válido para todo . Vamos expandir e juntar os termos semelhantes:
Para essa igualdade ser verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Passo 4
Resolvendo esse sistema:
De , temos .
De , temos .
De , temos .
Substituindo e na primeira equação: .
Isso mostra que a única solução é , o que confirma que os polinômios são linearmente independentes.
Passo 5
Agora, vamos ver se eles geram todo o espaço . Sabemos que tem dimensão 4 (pois são polinômios de grau até 3, com bases , , , ). Como temos exatamente 4 polinômios linearmente independentes, eles necessariamente geram todo o espaço .
Resposta
Os quatro primeiros polinômios de Hermite são linearmente independentes e geram todo o espaço , formando assim uma base para .