Os quatro primeiros polinômios de Hermite são 1, 2 t,-2+4 t^2 e -12+8 t^3. Esses polinômios surgem naturalmente no estudo de certas equações diferenciais importantes em Física-Matemática. Mostre que os quatro primeiros polinômios de Hermite formam uma base para o espaço wp(3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem quatro polinômios de Hermite: , , e . O problema quer que a gente mostre que esses polinômios formam uma base para o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3. Para resolver isso, a gente precisa verificar se esses polinômios são lineares e se eles conseguem “gerar” qualquer polinômio de grau até 3. Basicamente, vamos ver se eles são independentes e se cobrem todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base. Para um conjunto de vetores (ou polinômios) ser uma base, eles precisam ser linearmente independentes e gerar todo o espaço. Aqui, linearmente independentes quer dizer que nenhum polinômio pode ser escrito como uma combinação dos outros, e gerar significa que qualquer polinômio de grau até 3 pode ser escrito como uma combinação desses quatro polinômios de Hermite.

Passo 3

Vamos verificar a independência linear. Para isso, consideramos uma combinação linear igual a zero:
a cdot 1 + b cdot 2t + c cdot (-2 + 4t^2) + d cdot (-12 + 8t^3) = 0
Isso deve ser válido para todo (a - 2c - 12d) + (2b)t + (4c)t^2 + (8d)t^3 = 0 . Vamos expandir e juntar os termos semelhantes:
a - 2c - 12d = 0 2b = 0 4c = 0 8d = 0
Para essa igualdade ser verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:

Passo 4

Resolvendo esse sistema:
  1. De , temos .
  2. De , temos .
  3. De , temos .
  4. Substituindo e na primeira equação: .
Isso mostra que a única solução é , o que confirma que os polinômios são linearmente independentes.

Passo 5

Agora, vamos ver se eles geram todo o espaço . Sabemos que tem dimensão 4 (pois são polinômios de grau até 3, com bases , , , ). Como temos exatamente 4 polinômios linearmente independentes, eles necessariamente geram todo o espaço .

Resposta

Os quatro primeiros polinômios de Hermite são linearmente independentes e geram todo o espaço , formando assim uma base para .

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