Verifique se os conjuntos de vetores de (polinômios de grau menor ou igual a 3 ) abaixo são linearmente independentes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A questão pede para a gente verificar se o conjunto de vetores, que são polinômios de grau até 3, é linearmente independente. Ou seja, queremos saber se não dá para escrever um dos polinômios como combinação linear dos outros. Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa os polinômios serem linearmente independentes. Basicamente, se somarmos múltiplos desses polinômios e igualarmos a zero, a única solução possível é que todos os múltiplos sejam zero. Se conseguirmos achar outra solução, os polinômios são dependentes.
Passo 3
Vamos montar a equação de combinação linear igual a zero:
Isso significa que para todos os valores de , a soma deve resultar no polinômio zero.
Passo 4
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
Passo 5
Vamos agrupar os termos semelhantes por grau de :
Termo constante:
Termo de :
Termo de :
Termo de :
Passo 6
Para que a combinação seja igual a zero, cada coeficiente desses termos deve ser igual a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver o sistema passo a passo:
Da segunda equação, .
Da quarta equação, .
Substituindo na terceira equação: .
Se , então e .
Passo 8
Encontramos que a única solução é . Isso significa que não existe nenhuma combinação não trivial que faça a soma dos polinômios ser zero.
Resposta
Os conjuntos de vetores são linearmente independentes.