Verifique se os conjuntos de vetores de wp(3) (polinômios de grau menor ou igual a 3 ) abaixo são linearmente independentes:
1+t^3, 3+t-2 t^2,-t+3 t^2-t^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A questão pede para a gente verificar se o conjunto de vetores, que são polinômios de grau até 3, é linearmente independente. Ou seja, queremos saber se não dá para escrever um dos polinômios como combinação linear dos outros. Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os polinômios serem linearmente independentes. Basicamente, se somarmos múltiplos desses polinômios e igualarmos a zero, a única solução possível é que todos os múltiplos sejam zero. Se conseguirmos achar outra solução, os polinômios são dependentes.

Passo 3

Vamos montar a equação de combinação linear igual a zero:
a(1 + t^3) + b(3 + t - 2 t^2) + c(-t + 3 t^2 - t^3) = 0
Isso significa que para todos os valores de , a soma deve resultar no polinômio zero.

Passo 4

Agora, vamos distribuir os coeficientes:
a + a t^3 + 3b + b t - 2b t^2 - c t + 3c t^2 - c t^3 = 0

Passo 5

Vamos agrupar os termos semelhantes por grau de :
  • Termo constante:
  • Termo de :
  • Termo de :
  • Termo de :

Passo 6

Para que a combinação seja igual a zero, cada coeficiente desses termos deve ser igual a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
a + 3b = 0 b - c = 0 -2b + 3c = 0 a - c = 0

Passo 7

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da segunda equação, .
  2. Da quarta equação, .
  3. Substituindo na terceira equação: .
  4. Se , então e .

Passo 8

Encontramos que a única solução é . Isso significa que não existe nenhuma combinação não trivial que faça a soma dos polinômios ser zero.

Resposta

Os conjuntos de vetores são linearmente independentes.

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