Deduza a expressão para a ampliação lateral
de uma imagem formada por superfície esférica refratora. Use a aproximação de raios para-axiais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para deduzirmos a expressão para a ampliação lateral
de uma imagem formada por uma superfície esférica refratora. Para isso, vamos usar a aproximação de raios para-axiais, que simplifica os cálculos considerando apenas raios que fazem pequenos ângulos com o eixo principal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície esférica refratora. Imagine uma lente ou uma superfície que muda a direção da luz que passa por ela. A superfície esférica tem um raio de curvatura
.
Passo 3
A equação de refração para uma superfície esférica relaciona os objetos e as imagens formadas. Ela é dada por:
Aqui:
-
é o índice de refração do meio onde o objeto está. -
é o índice de refração do meio onde a imagem é formada. -
é a distância do objeto até a superfície. -
é a distância da imagem até a superfície. -
é o raio de curvatura da superfície.
Passo 4
A ampliação lateral
é a relação entre a altura da imagem
e a altura do objeto
:
Nos ajuda a entender o quanto a imagem é ampliada ou reduzida em relação ao objeto.
Passo 5
Para encontrar
, precisamos relacionar as variações nas posições e alturas do objeto e da imagem. Usando a aproximação para-axial, que assume que os raios estão próximos ao eixo principal, podemos derivar uma expressão simplificada.
Passo 6
A derivada da equação de refração nos dá a relação entre as pequenas variações:
Mas para simplificar, vamos relacionar diretamente as ampliações.
Passo 7
A ampliação lateral também pode ser expressa em termos das distâncias
e
:
O sinal negativo indica que a imagem é invertida em relação ao objeto quando a ampliação é negativa.
Passo 8
Substituindo
na equação de refração inicial, podemos isolar
:
Após alguns passos algébricos, consideramos que
é pequeno na aproximação para-axial, simplificando a expressão.
Resposta
A expressão para a ampliação lateral
de uma imagem formada por uma superfície esférica refratora, usando a aproximação de raios para-axiais, é: