Deduza a expressão para a ampliação lateral m=y^prime / y de uma imagem formada por superfície esférica refratora. Use a aproximação de raios para-axiais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para deduzirmos a expressão para a ampliação lateral de uma imagem formada por uma superfície esférica refratora. Para isso, vamos usar a aproximação de raios para-axiais, que simplifica os cálculos considerando apenas raios que fazem pequenos ângulos com o eixo principal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície esférica refratora. Imagine uma lente ou uma superfície que muda a direção da luz que passa por ela. A superfície esférica tem um raio de curvatura .

Passo 3

A equação de refração para uma superfície esférica relaciona os objetos e as imagens formadas. Ela é dada por:
n's' - ns = n' - nR
Aqui:
  • é o índice de refração do meio onde o objeto está.
  • é o índice de refração do meio onde a imagem é formada.
  • é a distância do objeto até a superfície.
  • é a distância da imagem até a superfície.
  • é o raio de curvatura da superfície.

Passo 4

A ampliação lateral m = y'y é a relação entre a altura da imagem e a altura do objeto :
Nos ajuda a entender o quanto a imagem é ampliada ou reduzida em relação ao objeto.

Passo 5

Para encontrar , precisamos relacionar as variações nas posições e alturas do objeto e da imagem. Usando a aproximação para-axial, que assume que os raios estão próximos ao eixo principal, podemos derivar uma expressão simplificada.

Passo 6

A derivada da equação de refração nos dá a relação entre as pequenas variações:
n's'^2 ds' - ns^2 ds = n' - nR
Mas para simplificar, vamos relacionar diretamente as ampliações.

Passo 7

A ampliação lateral também pode ser expressa em termos das distâncias m = -s's e :
O sinal negativo indica que a imagem é invertida em relação ao objeto quando a ampliação é negativa.

Passo 8

Substituindo m = nn' (1 - Rs) na equação de refração inicial, podemos isolar :
Após alguns passos algébricos, consideramos que é pequeno na aproximação para-axial, simplificando a expressão.

Resposta

A expressão para a ampliação lateral m = nn' (1 - Rs) de uma imagem formada por uma superfície esférica refratora, usando a aproximação de raios para-axiais, é:

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