Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x) = x^{2} -2x + 3$ no ponto $P(2,f(2))$.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função \( f(x) = x^{2} - 2x + 3 \) no ponto \( P(2, f(2)) \). Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente derivadas, que nos ajudam a achar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de \( f(2) \) para saber as coordenadas exatas do ponto \( P \). Substituindo \( x = 2 \) na função:
\[
f(2) = (2)^{2} - 2 \times 2 + 3 = 4 - 4 + 3 = 3
\]
Então, o ponto \( P \) é \( (2, 3) \).
Passo 3
Agora, precisamos achar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos calcular a derivada de \( f(x) \), que representa a taxa de variação ou a inclinação da função em qualquer ponto \( x \).
A derivada de \( f(x) = x^{2} - 2x + 3 \) é:
\[
f'(x) = 2x - 2
\]
Passo 4
Vamos encontrar a inclinação da tangente em \( x = 2 \) substituindo na derivada:
\[
f'(2) = 2 \times 2 - 2 = 4 - 2 = 2
\]
Então, a inclinação da reta tangente é 2.
Passo 5
Com a inclinação e o ponto \( P(2, 3) \), podemos usar a fórmula da reta no formato ponto-inclinação:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
Substituindo \( m = 2 \), \( x_1 = 2 \) e \( y_1 = 3 \):
\[
y - 3 = 2(x - 2)
\]
Simplificando:
\[
y = 2x - 4 + 3 \\
y = 2x - 1
\]
Resposta
A equação da reta tangente é \( y = 2x - 1 \).