Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x) = x^{2} -2x + 3$ no ponto $P(2,f(2))$.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função \( f(x) = x^{2} - 2x + 3 \) no ponto \( P(2, f(2)) \). Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente derivadas, que nos ajudam a achar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de \( f(2) \) para saber as coordenadas exatas do ponto \( P \). Substituindo \( x = 2 \) na função: \[ f(2) = (2)^{2} - 2 \times 2 + 3 = 4 - 4 + 3 = 3 \] Então, o ponto \( P \) é \( (2, 3) \).

Passo 3

Agora, precisamos achar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos calcular a derivada de \( f(x) \), que representa a taxa de variação ou a inclinação da função em qualquer ponto \( x \). A derivada de \( f(x) = x^{2} - 2x + 3 \) é: \[ f'(x) = 2x - 2 \]

Passo 4

Vamos encontrar a inclinação da tangente em \( x = 2 \) substituindo na derivada: \[ f'(2) = 2 \times 2 - 2 = 4 - 2 = 2 \] Então, a inclinação da reta tangente é 2.

Passo 5

Com a inclinação e o ponto \( P(2, 3) \), podemos usar a fórmula da reta no formato ponto-inclinação: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Substituindo \( m = 2 \), \( x_1 = 2 \) e \( y_1 = 3 \): \[ y - 3 = 2(x - 2) \] Simplificando: \[ y = 2x - 4 + 3 \\ y = 2x - 1 \]

Resposta

A equação da reta tangente é \( y = 2x - 1 \).

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