Deduza o sistema que determina os coeficientes que ajustam o polinômio cúbico
p(x) = a0 + a1 * x + a2 * x^2 + a3 * x^3
à tabela de pontos (xi, yi), i=1, ..., n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir como encontrar os coeficientes , , e de um polinômio cúbico que se ajusta melhor a um conjunto de pontos . Isso envolve um pouco de álgebra linear e a técnica de mínimos quadrados. Vamos precisar montar um sistema de equações que nos ajude a determinar esses coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos que o polinômio “se encaixe” nos pontos dados da melhor maneira possível. Para isso, usamos o método dos mínimos quadrados, que busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores preditos pelo polinômio .

Passo 3

Vamos expressar o erro para cada ponto:
Queremos minimizar a soma desses erros ao quadrado:

Passo 4

Para minimizar , vamos derivar em relação a cada coeficiente , , e e igualar a zero. Isso nos dará um sistema de equações conhecido como “equações normais”. Vamos fazer isso para cada coeficiente.

Passo 5

Derivando em relação a :
Simplificando:

Passo 6

Derivando em relação a :
Simplificando:

Passo 7

Derivando em relação a :
Simplificando:

Passo 8

Derivando em relação a :
Simplificando:

Passo 9

Agora, temos um sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas , , , e . Podemos representar esse sistema na forma matricial:
[


]

Resposta

O sistema que determina os coeficientes , , e é:
Esse sistema pode ser resolvido por métodos de álgebra linear, como eliminação de Gauss ou utilizando matrizes, para encontrar os valores dos coeficientes que melhor ajustam o polinômio cúbico aos pontos dados.

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