Deduza o sistema que determina os coeficientes que ajustam o polinômio cúbico
à tabela de pontos .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer descobrir como encontrar os coeficientes , , e de um polinômio cúbico que se ajusta melhor a um conjunto de pontos . Isso envolve um pouco de álgebra linear e a técnica de mínimos quadrados. Vamos precisar montar um sistema de equações que nos ajude a determinar esses coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que queremos que o polinômio “se encaixe” nos pontos dados da melhor maneira possível. Para isso, usamos o método dos mínimos quadrados, que busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores preditos pelo polinômio .
Passo 3
Vamos expressar o erro para cada ponto:
Queremos minimizar a soma desses erros ao quadrado:
Passo 4
Para minimizar , vamos derivar em relação a cada coeficiente , , e e igualar a zero. Isso nos dará um sistema de equações conhecido como “equações normais”. Vamos fazer isso para cada coeficiente.
Passo 5
Derivando em relação a :
Simplificando:
Passo 6
Derivando em relação a :
Simplificando:
Passo 7
Derivando em relação a :
Simplificando:
Passo 8
Derivando em relação a :
Simplificando:
Passo 9
Agora, temos um sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas , , , e . Podemos representar esse sistema na forma matricial:
[
]
Resposta
O sistema que determina os coeficientes , , e é:
Esse sistema pode ser resolvido por métodos de álgebra linear, como eliminação de Gauss ou utilizando matrizes, para encontrar os valores dos coeficientes que melhor ajustam o polinômio cúbico aos pontos dados.