A intensidade de uma fonte radioativa é dada por
. Através de observações, tem-se que:
|
0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
|
3.16 | 2.38 | 1.75 | 1.34 | 1.00 | 0.74 | 0.56 |
Determinar
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com a intensidade de uma fonte radioativa, que segue a fórmula
. O nosso objetivo aqui é descobrir dois valores:
e
. Para isso, vamos usar os dados fornecidos na tabela que relaciona o tempo
com a intensidade
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada símbolo representa:
-
é a intensidade no tempo . -
é a intensidade inicial, ou seja, quando . -
é a constante de decaimento, que indica a rapidez com que a intensidade diminui.
Passo 3
A fórmula
mostra que a intensidade diminui exponencialmente com o tempo. Para facilitar, vamos transformar essa equação usando logaritmos naturais. Assim, teremos:
Essa transformação nos permite usar métodos de regressão linear para encontrar
e
.
Passo 4
Vamos escolher dois pontos da tabela para montar um sistema de equações. Vamos usar os valores quando
e
:
Para
,
:
Para
,
:
Passo 5
Agora, vamos calcular os logaritmos naturais desses valores de
:
Então, temos o sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema para encontrar
. Subtraindo a segunda equação da primeira:
Passo 7
Agora que temos
, vamos substituir esse valor em uma das equações para encontrar
. Usando a primeira equação:
Passo 8
Para encontrar
, vamos usar a função exponencial:
Resposta
Os valores encontrados são: