Considere a função dada por:
|
1.5 | 2.0 | 2.5 | 3.0 |
---|---|---|---|---|
|
2.1 | 3.2 | 4.4 | 5.8 |
Ajuste os pontos acima por uma função do tipo
, usando o método dos mínimos quadrados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma tabela com alguns valores de
e
, e precisa encontrar uma função do tipo
que melhor se ajusta a esses pontos usando o método dos mínimos quadrados. Isso significa que queremos minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores estimados pela função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos mínimos quadrados. Esse método tenta encontrar os parâmetros
e
que fazem com que a função
“encaixe” melhor nos dados fornecidos. Para isso, calculamos a soma dos quadrados dos resíduos, que são as diferenças entre
e
.
Passo 3
Nossa função é
. Para facilitar os cálculos, vamos elevar ao quadrado ambos os lados da equação:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, temos uma relação linear entre
e
. Vamos organizar nossos dados transformando
em
:
|
|
|
---|---|---|
1.5 | 2.1 | 4.41 |
2.0 | 3.2 | 10.24 |
2.5 | 4.4 | 19.36 |
3.0 | 5.8 | 33.64 |
Passo 5
Agora, queremos ajustar uma função linear do tipo
, onde
. Para encontrar os melhores valores de
e
, usamos as fórmulas dos mínimos quadrados:
onde
é o número de pontos.
Passo 6
Vamos calcular os valores necessários:
Passo 7
Agora, aplicamos esses valores nas fórmulas:
Passo 8
Obtivemos
e
. Portanto, a função que melhor se ajusta aos dados usando o método dos mínimos quadrados é:
Resposta
A função ajustada é
.