Considere a função dada por:
x 1.5 2.0 2.5 3.0
f(x) 2.1 3.2 4.4 5.8
Ajuste os pontos acima por uma função do tipo u(x) = raiz(a + b x), usando o método dos mínimos quadrados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma tabela com alguns valores de e , e precisa encontrar uma função do tipo que melhor se ajusta a esses pontos usando o método dos mínimos quadrados. Isso significa que queremos minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores estimados pela função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método dos mínimos quadrados. Esse método tenta encontrar os parâmetros e que fazem com que a função “encaixe” melhor nos dados fornecidos. Para isso, calculamos a soma dos quadrados dos resíduos, que são as diferenças entre e .

Passo 3

Nossa função é . Para facilitar os cálculos, vamos elevar ao quadrado ambos os lados da equação:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, temos uma relação linear entre e . Vamos organizar nossos dados transformando em :
1.5 2.1 4.41
2.0 3.2 10.24
2.5 4.4 19.36
3.0 5.8 33.64

Passo 5

Agora, queremos ajustar uma função linear do tipo , onde . Para encontrar os melhores valores de e , usamos as fórmulas dos mínimos quadrados:
onde é o número de pontos.

Passo 6

Vamos calcular os valores necessários:

Passo 7

Agora, aplicamos esses valores nas fórmulas:

Passo 8

Obtivemos e . Portanto, a função que melhor se ajusta aos dados usando o método dos mínimos quadrados é:

Resposta

A função ajustada é .

Exercícios relacionados