Deduza a solução analítica para o problema da difusão.
Passo 1
Então, temos um exercício que pede para deduzir a solução analítica para o problema da difusão. Isso está relacionado à equação de difusão, também conhecida como equação do calor, que é uma equação diferencial parcial usada para descrever como a quantidade de uma substância ou a temperatura se distribui ao longo do tempo e do espaço. Para resolver esse problema, vamos precisar entender o que é a equação de difusão, aplicar métodos de resolução de equações diferenciais parciais e utilizar condições iniciais e de contorno apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de difusão unidimensional, que é dada por:
Aqui,
representa a concentração da substância ou a temperatura em função da posição
e do tempo
, e
é o coeficiente de difusão, que indica a taxa com que a substância se espalha.
Passo 3
Para encontrar uma solução analítica, precisamos considerar as condições iniciais e de contorno do problema. Suponha que no tempo
, a distribuição da substância é dada por uma função
. Além disso, assumimos que nas extremidades do domínio, a concentração tende a zero quando
tende a mais ou menos infinito.
Passo 4
Uma das técnicas mais comuns para resolver a equação de difusão é a Transformada de Fourier. Aplicando a transformada de Fourier na equação em relação a
, obtemos uma equação diferencial ordinária em termos da transformada de
. Resolvendo essa equação e aplicando a transformada inversa, chegamos à solução geral da equação de difusão.
Passo 5
A solução analítica para o problema da difusão, considerando a condição inicial
, é dada por:
Essa expressão mostra como a concentração
evolui ao longo do tempo a partir da distribuição inicial
, distribuindo-se de acordo com a função gaussiana que depende do coeficiente de difusão
e do tempo
.
Resposta
A solução analítica para o problema da difusão é: