Deduza a solução analítica para o problema da difusão.

Passo 1

Então, temos um exercício que pede para deduzir a solução analítica para o problema da difusão. Isso está relacionado à equação de difusão, também conhecida como equação do calor, que é uma equação diferencial parcial usada para descrever como a quantidade de uma substância ou a temperatura se distribui ao longo do tempo e do espaço. Para resolver esse problema, vamos precisar entender o que é a equação de difusão, aplicar métodos de resolução de equações diferenciais parciais e utilizar condições iniciais e de contorno apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de difusão unidimensional, que é dada por:
partial upartial t = D partial^2 upartial x^2
Aqui, representa a concentração da substância ou a temperatura em função da posição e do tempo , e é o coeficiente de difusão, que indica a taxa com que a substância se espalha.

Passo 3

Para encontrar uma solução analítica, precisamos considerar as condições iniciais e de contorno do problema. Suponha que no tempo , a distribuição da substância é dada por uma função . Além disso, assumimos que nas extremidades do domínio, a concentração tende a zero quando tende a mais ou menos infinito.

Passo 4

Uma das técnicas mais comuns para resolver a equação de difusão é a Transformada de Fourier. Aplicando a transformada de Fourier na equação em relação a , obtemos uma equação diferencial ordinária em termos da transformada de . Resolvendo essa equação e aplicando a transformada inversa, chegamos à solução geral da equação de difusão.

Passo 5

A solução analítica para o problema da difusão, considerando a condição inicial u(x,t) = 1raiz4pi D t integral-infty^infty e^-(x - xi)^24Dt f(xi) , dxi , é dada por:
Essa expressão mostra como a concentração evolui ao longo do tempo a partir da distribuição inicial , distribuindo-se de acordo com a função gaussiana que depende do coeficiente de difusão e do tempo .

Resposta

A solução analítica para o problema da difusão é:
u(x,t) = 1raiz4pi D t integral-infty^infty e^-(x - xi)^24Dt f(xi) , dxi

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