A parede de um forno a gás, construída de tijolo refratário, encontra-se inicialmente a
. Avalie o tempo necessário para que sua superfície externa atinja uma temperatura de
, sabendo que os gases de combustão no interior do forno (
) se encontram a
. A parede apresenta 160 mm de espessura e sua superfície externa está revestida por um material isolante, de forma que a perda de calor para o ambiente pode ser desprezada. As propriedades termofísicas do refratário são
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma parede de forno feita de tijolo refratário que começa a 20°C. Queremos descobrir quanto tempo leva para a parte externa dessa parede chegar a 700°C. Sabemos que dentro do forno os gases de combustão estão a 1200°C e que a parede tem 160 mm de espessura. Também, o lado externo está isolado, então não perde calor para o ambiente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e propriedades térmicas do material.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as propriedades que temos:
- Espessura da parede,
m - Condutividade térmica,
W/mK - Densidade,
kg/m³ - Calor específico,
J/kgK (convertido de 1 kJ/kgK) - Coeficiente de transferência de calor,
W/m²K - Temperatura interna,
°C - Temperatura inicial,
°C - Temperatura externa desejada,
°C
Passo 3
Vamos calcular a difusividade térmica (
) do material, que é importante para entender como o calor se propaga através da parede:
Passo 4
Agora, precisamos analisar se podemos usar o método da capacitância lumped (ponto), que simplifica os cálculos assumindo que a temperatura é uniforme ao longo da parede. Para isso, calculamos o número de Biot (
):
Como
, o método da capacitância lumped não é válido. Então, precisamos usar a solução para condução de calor em uma placa fina com uma superfície isolada e a outra sujeita a convecção.
Passo 5
Utilizamos a série de Fourier para placas com uma superfície isolada. A solução para a temperatura em função do tempo é:
Onde
. Queremos encontrar o tempo
para que
°C.
Passo 6
Para simplificar, consideramos apenas o primeiro termo da série (aproximação de primeira ordem):
Sabemos que
.
Passo 7
Igualamos a expressão de
ao valor encontrado:
Rearranjando:
Passo 8
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para
:
Passo 9
Calculamos os valores:
Resposta
O tempo necessário para que a superfície externa da parede atinja 700°C é aproximadamente 3 horas e 56 minutos.