A parede de um forno a gás, construída de tijolo refratário, encontra-se inicialmente a 20^circ C. Avalie o tempo necessário para que sua superfície externa atinja uma temperatura de 700^circ C, sabendo que os gases de combustão no interior do forno ( h=120 W / m^2 K ) se encontram a 1200 ^circ C. A parede apresenta 160 mm de espessura e sua superfície externa está revestida por um material isolante, de forma que a perda de calor para o ambiente pode ser desprezada. As propriedades termofísicas do refratário são rho=2600 kg / m^3 ; cp=1 KJ / kgK e k=1,9 W / mK.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma parede de forno feita de tijolo refratário que começa a 20°C. Queremos descobrir quanto tempo leva para a parte externa dessa parede chegar a 700°C. Sabemos que dentro do forno os gases de combustão estão a 1200°C e que a parede tem 160 mm de espessura. Também, o lado externo está isolado, então não perde calor para o ambiente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e propriedades térmicas do material.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as propriedades que temos:
  • Espessura da parede, m
  • Condutividade térmica, W/mK
  • Densidade, kg/m³
  • Calor específico, J/kgK (convertido de 1 kJ/kgK)
  • Coeficiente de transferência de calor, W/m²K
  • Temperatura interna, °C
  • Temperatura inicial, °C
  • Temperatura externa desejada, °C

Passo 3

Vamos calcular a difusividade térmica ( alpha = krho cdot cp = 1,92600 cdot 1000 approx 7,31 times 10^-7 , m²/s ) do material, que é importante para entender como o calor se propaga através da parede:
²

Passo 4

Agora, precisamos analisar se podemos usar o método da capacitância lumped (ponto), que simplifica os cálculos assumindo que a temperatura é uniforme ao longo da parede. Para isso, calculamos o número de Biot ( Bi = h cdot Lk = 120 cdot 0,1601,9 approx 10,105 ):
Como , o método da capacitância lumped não é válido. Então, precisamos usar a solução para condução de calor em uma placa fina com uma superfície isolada e a outra sujeita a convecção.

Passo 5

Utilizamos a série de Fourier para placas com uma superfície isolada. A solução para a temperatura em função do tempo é:
theta(x,t) = 1 - 4pi sumn=0^infty cos((2n+1)pi x2L)2n+1 exp(-((2n+1)pi2)^2 alpha t / L^2)
Onde . Queremos encontrar o tempo para que °C.

Passo 6

Para simplificar, consideramos apenas o primeiro termo da série (aproximação de primeira ordem):
theta(L,t) approx 1 - 4pi exp(-(pi2)^2 alpha tL^2)
Sabemos que .

Passo 7

Igualamos a expressão de 0,576 = 1 - 4pi exp(-pi^24 alpha tL^2) ao valor encontrado:
exp(-pi^24 alpha tL^2) = pi4 (1 - 0,576) = pi4 times 0,424 approx 0,334
Rearranjando:

Passo 8

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para -pi^24 alpha tL^2 = ln(0,334) :
t = -4pi^2 L^2alpha ln(0,334)

Passo 9

Calculamos os valores:
ln(0,334) approx -1,096
t = -4pi^2 (0,160)^27,31 times 10^-7 times (-1,096)
t approx 4 times 0,02569,8696 times 7,31 times 10^-7 times 1,096
t approx 0,10247,222 times 10^-6 times 1,096 approx 14200 , segundos

Resposta

O tempo necessário para que a superfície externa da parede atinja 700°C é aproximadamente 3 horas e 56 minutos.

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