Deduza o termo geral e escreva usando a notação de série: 35+325+3125+3625+ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir qual é o termo geral da série e escrevê-la usando a notação de série. Isso envolve entender sequências geométricas, que são aquelas onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. Vamos precisar identificar essa razão e a fórmula para o termo geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a razão da sequência. Observando os termos:
35, 325, 3125, 3625, ldots
Perceba que cada denominador é 5, 25, 125, 625, etc., o que são potências de 5 ( 32535 = 15, 3125325 = 15, e assim por diante etc.). Isso significa que a razão entre os termos é porque:

Passo 3

Com a razão an = a1 cdot r^n-1 identificada, podemos usar a fórmula do termo geral de uma sequência geométrica. A fórmula é:
onde:
  • é o termo geral,
  • é o primeiro termo da sequência,
  • é a razão,
  • é a posição do termo na sequência.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula aos nossos dados. Aqui, o primeiro termo an = 35 cdot (15)^n-1 é e a razão é . Substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, para escrever a série usando a notação de somatório, que é uma forma compacta de representar a soma de um número infinito de termos, usamos o símbolo sumn=1^infty 35 cdot (15)^n-1 . A série fica assim:

Resposta

sumn=1^infty 35 cdot (15)^n-1

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