Encontre uma base para os seguintes espaços vetoriais
V=[cca & b b-a & 0]: a, b in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para o espaço vetorial V = a & b b - a & 0 : a, b in R , que é formado por matrizes do tipo:
O conteúdo que vamos usar aqui é da Álgebra Linear, especificamente sobre bases de espaços vetoriais. Para isso, vamos precisar identificar vetores (nesse caso, matrizes) que:
  1. Gerem todo o espaço através de combinações lineares.
  2. Sejam linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever uma matriz genérica que pertence ao espaço a & b b - a & 0 :
Aqui, e são números reais que podem assumir qualquer valor.

Passo 3

Agora, vamos tentar expressar essa matriz como uma combinação linear de matrizes que dependem de a & b b - a & 0 = a 1 & 0 -1 & 0 + b 0 & 1 1 & 0 e . Para isso, separamos os termos que multiplicam e :

Passo 4

As matrizes que multiplicam 1 & 0 -1 & 0 e 0 & 1 1 & 0 e são:
Vamos chamar essas matrizes de e respectivamente.

Passo 5

Precisamos verificar se essas matrizes c1 M1 + c2 M2 = 0 & 0 0 & 0 e c1 1 & 0 -1 & 0 + c2 0 & 1 1 & 0 = c1 & c2 -c1 + c2 & 0 = 0 & 0 0 & 0 são linearmente independentes. Isso significa que a única maneira de termos uma combinação linear igual a zero é se os coeficientes forem zero:
c1 = 0 c2 = 0 -c1 + c2 = 0
Resolvendo:
Isso nos dá o sistema:
A única solução é e , o que prova que e são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para o espaço vetorial 1 & 0 -1 & 0 , 0 & 1 1 & 0 é formada pelas matrizes:

Exercícios relacionados