Encontre uma base para os seguintes espaços vetoriais

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para o espaço vetorial , que é formado por matrizes do tipo:
O conteúdo que vamos usar aqui é da Álgebra Linear, especificamente sobre bases de espaços vetoriais. Para isso, vamos precisar identificar vetores (nesse caso, matrizes) que:
  1. Gerem todo o espaço através de combinações lineares.
  2. Sejam linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever uma matriz genérica que pertence ao espaço :
Aqui, e são números reais que podem assumir qualquer valor.

Passo 3

Agora, vamos tentar expressar essa matriz como uma combinação linear de matrizes que dependem de e . Para isso, separamos os termos que multiplicam e :

Passo 4

As matrizes que multiplicam e são:
Vamos chamar essas matrizes de e respectivamente.

Passo 5

Precisamos verificar se essas matrizes e são linearmente independentes. Isso significa que a única maneira de termos uma combinação linear igual a zero é se os coeficientes forem zero:
Resolvendo:
Isso nos dá o sistema:
A única solução é e , o que prova que e são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para o espaço vetorial é formada pelas matrizes:

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A matriz A abaixo é diagonalizável? Porque?
A matriz

é a matriz dos coeficientes dos sistemas e em que e . Use a matriz
inversa dos coeficientes para resolver ambos sistemas. A soma dos valores de e para os dois sistemas são respectivamente iguais a:

Escolha uma opção:

a.
-b. e 18
c. e 3
  • d.
    e. e 1
Deduza o termo geral e escreva usando a notação de série:
Calcule as projeçõe ortogonais dos vetores e no subespaço do .