Encontre uma base para os seguintes espaços vetoriais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para o espaço vetorial , que é formado por matrizes do tipo:
O conteúdo que vamos usar aqui é da Álgebra Linear, especificamente sobre bases de espaços vetoriais. Para isso, vamos precisar identificar vetores (nesse caso, matrizes) que:
Gerem todo o espaço através de combinações lineares.
Sejam linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever uma matriz genérica que pertence ao espaço :
Aqui, e são números reais que podem assumir qualquer valor.
Passo 3
Agora, vamos tentar expressar essa matriz como uma combinação linear de matrizes que dependem de e . Para isso, separamos os termos que multiplicam e :
Passo 4
As matrizes que multiplicam e são:
Vamos chamar essas matrizes de e respectivamente.
Passo 5
Precisamos verificar se essas matrizes e são linearmente independentes. Isso significa que a única maneira de termos uma combinação linear igual a zero é se os coeficientes forem zero:
Resolvendo:
Isso nos dá o sistema:
A única solução é e , o que prova que e são linearmente independentes.
Resposta
Uma base para o espaço vetorial é formada pelas matrizes: