Calcule as projeçõe ortogonais dos vetores
e
no subespaço
do
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as projeções ortogonais dos vetores
e
no subespaço
de
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre projeções vetoriais em subespaços. Para resolver, vamos precisar entender como projetar um vetor em uma direção específica e usar produtos escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa projetar um vetor em um subespaço. A projeção ortogonal de um vetor
em uma direção definida por um vetor
é dada pela fórmula:
Aqui,
é o produto escalar entre
e
, e
é o produto escalar de
consigo mesmo.
Passo 3
Vamos identificar o vetor que define o subespaço
. Pelo enunciado,
é gerado pelo vetor
. Esse será o vetor que vamos usar na fórmula da projeção.
Passo 4
Agora, vamos calcular a projeção do primeiro vetor
em
.
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Em seguida, calculamos
:
Então, a projeção é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a projeção do segundo vetor
em
.
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Já sabemos que
(calculado anteriormente). Então, a projeção é:
Resposta
As projeções ortogonais dos vetores
e
no subespaço
são, respectivamente:
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