Calcule as projeçõe ortogonais dos vetores e no subespaço do .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as projeções ortogonais dos vetores e no subespaço de . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre projeções vetoriais em subespaços. Para resolver, vamos precisar entender como projetar um vetor em uma direção específica e usar produtos escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa projetar um vetor em um subespaço. A projeção ortogonal de um vetor em uma direção definida por um vetor é dada pela fórmula:
Aqui, é o produto escalar entre e , e é o produto escalar de consigo mesmo.

Passo 3

Vamos identificar o vetor que define o subespaço . Pelo enunciado, é gerado pelo vetor . Esse será o vetor que vamos usar na fórmula da projeção.

Passo 4

Agora, vamos calcular a projeção do primeiro vetor em .
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Em seguida, calculamos :
Então, a projeção é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a projeção do segundo vetor em .
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Já sabemos que (calculado anteriormente). Então, a projeção é:

Resposta

As projeções ortogonais dos vetores e no subespaço são, respectivamente:

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Deduza o termo geral e escreva usando a notação de série:
Encontre uma base para os seguintes espaços vetoriais


Deduza o termo geral e escreva usando a notação de série: