Calcule as projeçõe ortogonais dos vetores (1,0,0,0) e (-1,2,0,1) no subespaço E=t(-1,1,1,-2) ; t in R do R^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as projeções ortogonais dos vetores (1,0,0,0) e (-1,2,0,1) no subespaço E=t(-1,1,1,-2) ; t in R de R^4. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre projeções vetoriais em subespaços. Para resolver, vamos precisar entender como projetar um vetor em uma direção específica e usar produtos escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa projetar um vetor em um subespaço. A projeção ortogonal de um vetor v em uma direção definida por um vetor u é dada pela fórmula:
proju(v) = ( v cdot uu cdot u ) u
Aqui, v cdot u é o produto escalar entre v e u, e u cdot u é o produto escalar de u consigo mesmo.

Passo 3

Vamos identificar o vetor que define o subespaço E. Pelo enunciado, E é gerado pelo vetor u = (-1, 1, 1, -2). Esse será o vetor que vamos usar na fórmula da projeção.

Passo 4

Agora, vamos calcular a projeção do primeiro vetor v1 = (1, 0, 0, 0) em E.
Primeiro, calculamos o produto escalar v1 cdot u:
v1 cdot u = (1)(-1) + (0)(1) + (0)(1) + (0)(-2) = -1 + 0 + 0 + 0 = -1
Em seguida, calculamos u cdot u:
u cdot u = (-1)^2 + (1)^2 + (1)^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 1 + 4 = 7
Então, a projeção é:
proju(v1) = ( -17 ) u = ( -17 ) (-1, 1, 1, -2) = ( 17, -17, -17, 27 )

Passo 5

Agora, vamos calcular a projeção do segundo vetor v2 = (-1, 2, 0, 1) em E.
Primeiro, calculamos o produto escalar v2 cdot u:
v2 cdot u = (-1)(-1) + (2)(1) + (0)(1) + (1)(-2) = 1 + 2 + 0 - 2 = 1
Já sabemos que u cdot u = 7 (calculado anteriormente). Então, a projeção é:
proju(v2) = ( 17 ) u = ( 17 ) (-1, 1, 1, -2) = ( -17, 17, 17, -27 )

Resposta

As projeções ortogonais dos vetores (1,0,0,0) e (-1,2,0,1) no subespaço E são, respectivamente:
( 17, -17, -17, 27 ) e ( -17, 17, 17, -27 )

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