Determine a condição de ressonância e discuta como mudanças nos valores de
podem ser feitas para evitar esta condição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual é a condição de ressonância em um sistema que envolve os parâmetros
,
e
. Além disso, temos que discutir como mudar esses valores para evitar que aconteça essa ressonância. Isso tudo está dentro da área de dinâmica de estruturas, que estuda como estruturas respondem a diferentes tipos de forças e vibrações.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é ressonância. Ressonância acontece quando a frequência da força que está agindo sobre o sistema coincide com a frequência natural do próprio sistema. Nessa situação, as vibrações podem aumentar muito, o que pode causar danos ou falhas na estrutura.
Passo 3
Para encontrar a condição de ressonância, precisamos determinar a frequência natural do sistema. Em estruturas como vigas ou pilares, a frequência natural (
) pode ser calculada usando a fórmula:
onde:
-
é a rigidez do sistema, -
é a massa efetiva.
No nosso caso, a rigidez está relacionada ao termo
, que é o módulo de elasticidade (
) multiplicado pelo momento de inércia da área (
). Assim, podemos reescrever a frequência natural considerando
:
onde
é o comprimento da estrutura.
Passo 4
Com a frequência natural em mãos, a condição de ressonância ocorre quando:
Ou seja, a frequência da força aplicada (
) iguala a frequência natural do sistema.
Passo 5
Agora, para evitar a ressonância, precisamos garantir que essas frequências não coincidam. Podemos fazer isso ajustando os parâmetros
,
e
:
-
Aumentar
: Isso aumentaria a rigidez do sistema, elevando a frequência natural e afastando-a da frequência de excitação. -
Aumentar
: Se estiver relacionado com a amortecimento, aumentar ajudaria a dissipar mais energia, reduzindo as amplitudes das vibrações mesmo que a ressonância ocorra. -
Aumentar
: Assim como aumentar , aumentar também eleva a frequência natural, evitando que chegue à frequência de excitação.
Resposta
A condição de ressonância ocorre quando a frequência de excitação é igual à frequência natural do sistema, ou seja:
Para evitar essa condição de ressonância, podemos:
- Aumentar
(rigidez do sistema), - Aumentar
(amortecimento), - Aumentar
(módulo de elasticidade vezes momento de inércia).
Essas alterações elevam a frequência natural ou reduzem as vibrações, prevenindo assim a ocorrência de ressonância.
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;
Suponha que o sistema seja deslocado de uma posição inicial
e solto sem aplicação de força externa. Descreva o comportamento da massa ao longo do tempo.
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dos sistema massa-mola amortecido e forçado (
e
), sabendo que essa força de excitação tem a forma
e
. Assuma como condições iniciais
e
.