Determine a condição de ressonância e discuta como mudanças nos valores de podem ser feitas para evitar esta condição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual é a condição de ressonância em um sistema que envolve os parâmetros , e . Além disso, temos que discutir como mudar esses valores para evitar que aconteça essa ressonância. Isso tudo está dentro da área de dinâmica de estruturas, que estuda como estruturas respondem a diferentes tipos de forças e vibrações.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é ressonância. Ressonância acontece quando a frequência da força que está agindo sobre o sistema coincide com a frequência natural do próprio sistema. Nessa situação, as vibrações podem aumentar muito, o que pode causar danos ou falhas na estrutura.

Passo 3

Para encontrar a condição de ressonância, precisamos determinar a frequência natural do sistema. Em estruturas como vigas ou pilares, a frequência natural ( ) pode ser calculada usando a fórmula:
onde:
  • é a rigidez do sistema,
  • é a massa efetiva.
No nosso caso, a rigidez está relacionada ao termo , que é o módulo de elasticidade ( ) multiplicado pelo momento de inércia da área ( ). Assim, podemos reescrever a frequência natural considerando :
onde é o comprimento da estrutura.

Passo 4

Com a frequência natural em mãos, a condição de ressonância ocorre quando:
çã
Ou seja, a frequência da força aplicada ( çã) iguala a frequência natural do sistema.

Passo 5

Agora, para evitar a ressonância, precisamos garantir que essas frequências não coincidam. Podemos fazer isso ajustando os parâmetros , e :
  • Aumentar : Isso aumentaria a rigidez do sistema, elevando a frequência natural e afastando-a da frequência de excitação.
  • Aumentar : Se estiver relacionado com a amortecimento, aumentar ajudaria a dissipar mais energia, reduzindo as amplitudes das vibrações mesmo que a ressonância ocorra.
  • Aumentar : Assim como aumentar , aumentar também eleva a frequência natural, evitando que chegue à frequência de excitação.

Resposta

A condição de ressonância ocorre quando a frequência de excitação é igual à frequência natural do sistema, ou seja:
çã
Para evitar essa condição de ressonância, podemos:
  • Aumentar (rigidez do sistema),
  • Aumentar (amortecimento),
  • Aumentar (módulo de elasticidade vezes momento de inércia).
Essas alterações elevam a frequência natural ou reduzem as vibrações, prevenindo assim a ocorrência de ressonância.

Exercícios relacionados

Desenvolva a equação de movimento para o sistema e determine a condição inicial imposta pela força impulsiva. Lembre que o impulso é relacionado à mudança de quantidade de movimento.
Deduzir a equação do movimento vertical que fornece a posição do centro de massa da boia, ;
Suponha que o sistema seja deslocado de uma posição inicial e solto sem aplicação de força externa. Descreva o comportamento da massa ao longo do tempo.
Determine a solução geral dos sistema massa-mola amortecido e forçado ( e ), sabendo que essa força de excitação tem a forma e . Assuma como condições iniciais e .