Deduzir uma expressão para o coeficiente de fugacidade de um gás cuja equação de estado é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para deduzir uma expressão para o coeficiente de fugacidade de um gás, usando a equação de estado dada:
Vamos trabalhar com os conceitos de termodinâmica dos gases reais e fugacidade, que ajuda a corrigir o comportamento do gás ideal para gases reais. Para resolver isso, precisamos entender a relação entre pressão, volume, temperatura e fugacidade.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação de estado para facilitar nossos cálculos. A equação dada é:
Multiplicando ambos os lados por $ R T $, temos:
Simplificando:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o coeficiente de fugacidade ($ \phi
f $) é uma medida que corrige a pressão real para se aproximar do comportamento ideal do gás. O coeficiente de fugacidade é definido por:
Para gases reais, a relação entre $ \phi $ e $ P $ pode ser encontrada usando a integral:
Onde $ P^{\circ} $ é a pressão de referência, geralmente considerada como 1 atm.
Passo 4
Vamos usar a equação de estado que rearranjamos para expressar $ V $ em função de $ P $ e $ T $:
Para simplificar, vamos aproximar que o termo $ \frac{R T^2 B}{V} $ seja pequeno em comparação com $ R T $, especialmente à primeira ordem. Assim, podemos considerar:
Passo 5
Substituindo $ V \approx \frac{R T}{P} $ na expressão da integral:
Perceba que os termos se cancelam:
Isso indicaria que $ \phi = 1 $, o que corresponde ao comportamento do gás ideal.
Passo 6
No entanto, queremos levar em conta o termo $ \frac{B T}{V} $ que foi negligenciado inicialmente. Usando a equação de estado completa:
Agora, vamos considerar o efeito desse termo na expressão do coeficiente de fugacidade. Rearranjando para $ \frac{V}{R T} $:
Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral:
Resposta
Portanto, a expressão para o coeficiente de fugacidade é:
Que simplifica para: