Deduzir uma expressão para o coeficiente de fugacidade de um gás cuja equação de estado é: P V / R T= 1+(B T / V)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para deduzir uma expressão para o coeficiente de fugacidade de um gás, usando a equação de estado dada:
P VR T = 1 + ( B TV )
Vamos trabalhar com os conceitos de termodinâmica dos gases reais e fugacidade, que ajuda a corrigir o comportamento do gás ideal para gases reais. Para resolver isso, precisamos entender a relação entre pressão, volume, temperatura e fugacidade.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação de estado para facilitar nossos cálculos. A equação dada é:
P VR T = 1 + ( B TV )
Multiplicando ambos os lados por $ R T $, temos:
R T
Simplificando:
P V = R T ( 1 + B TV )
P V = R T + R T B TV

Passo 3

Agora, queremos encontrar o coeficiente de fugacidade ($ \phi phi f $) é uma medida que corrige a pressão real para se aproximar do comportamento ideal do gás. O coeficiente de fugacidade é definido por:
f
Para gases reais, a relação entre $ \phi $ e $ P $ pode ser encontrada usando a integral:
phi = fP
Onde $ P^{\circ} $ é a pressão de referência, geralmente considerada como 1 atm.

Passo 4

Vamos usar a equação de estado que rearranjamos para expressar $ V $ em função de $ P $ e $ T $:
V
Para simplificar, vamos aproximar que o termo $ \frac{R T^2 B}{V} $ seja pequeno em comparação com $ R T $, especialmente à primeira ordem. Assim, podemos considerar:
P

Passo 5

Substituindo $ V \approx \frac{R T}{P} $ na expressão da integral:
V approx R TP
Perceba que os termos se cancelam:
ln phi = integralP^circ^P ( R TP' - R TP'R T ) dP'
Isso indicaria que $ \phi = 1 $, o que corresponde ao comportamento do gás ideal.

Passo 6

No entanto, queremos levar em conta o termo $ \frac{B T}{V} $ que foi negligenciado inicialmente. Usando a equação de estado completa:
B TV
Agora, vamos considerar o efeito desse termo na expressão do coeficiente de fugacidade. Rearranjando para $ \frac{V}{R T} $:
P V = R T ( 1 + B TV )
Substituindo na integral:
VR T
Simplificando:
VR T = 1P ( 1 + B TV )
ln phi = integralP^circ^P ( R TP' ( 1 + B TV ) - R TP'R T ) dP'

Passo 7

Agora, resolvemos a integral:
ln phi = B integralP^circ^P 1P' , dP'
ln phi = B ln ( PP^circ )

Resposta

Portanto, a expressão para o coeficiente de fugacidade é:
phi = exp ( B ln PP^circ )
Que simplifica para:
phi = ( PP^circ )^B

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