Deduzir a fórmula da área de uma elipse em termos das medidas dos seus semieixos.
Equação canônica da elipse:
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, a > b > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente deduzir a fórmula da área de uma elipse usando os semieixos dela. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo das conicas. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação canônica da elipse e como calcular áreas de formas geométricas usando integração ou transformação de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação da elipse que foi dada:
Aqui, é o semieixo maior e é o semieixo menor da elipse.

Passo 3

Para encontrar a área da elipse, podemos usar uma técnica de transformação que relaciona a elipse com um círculo. Sabemos que a área de um círculo de raio é .

Passo 4

Vamos fazer uma mudança de variável para transformar a elipse em um círculo. Seja:
Onde e são novas variáveis. Substituindo na equação da elipse:
Agora temos a equação de um círculo unitário ( ).

Passo 5

A área do círculo unitário é . Mas precisamos relacionar isso com a área da elipse original. A transformação que fizemos (escala nos eixos e ) altera a área original.
Cada ponto na direção foi multiplicado por e na direção por . Então, a área da elipse é a área do círculo multiplicada por esses fatores de escala:

Resposta

A área da elipse é dada por:

Exercícios relacionados