Deduzir a fórmula da área de uma elipse em termos das medidas dos seus semieixos.
Equação canônica da elipse:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente deduzir a fórmula da área de uma elipse usando os semieixos dela. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo das conicas. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação canônica da elipse e como calcular áreas de formas geométricas usando integração ou transformação de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação da elipse que foi dada:
Aqui, é o semieixo maior e é o semieixo menor da elipse.

Passo 3

Para encontrar a área da elipse, podemos usar uma técnica de transformação que relaciona a elipse com um círculo. Sabemos que a área de um círculo de raio é .

Passo 4

Vamos fazer uma mudança de variável para transformar a elipse em um círculo. Seja:
Onde e são novas variáveis. Substituindo na equação da elipse:
Agora temos a equação de um círculo unitário ( ).

Passo 5

A área do círculo unitário é . Mas precisamos relacionar isso com a área da elipse original. A transformação que fizemos (escala nos eixos e ) altera a área original.
Cada ponto na direção foi multiplicado por e na direção por . Então, a área da elipse é a área do círculo multiplicada por esses fatores de escala:

Resposta

A área da elipse é dada por:

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Resolva os itens abaixo.
(a) Como está definida a função ?
Suponha que você receba uma oferta para trabalhar por apenas um mês. Qual das seguintes formas de pagamento você prefere?
(I) Um milhão de dólares no fim do mês.
(II) Um centavo de real no primeiro dia do mês, dois centavos no segundo dia, quatro centavos no terceiro dia, e, em geral, centavos de real no -ésimo dia.
Calcule as derivadas abaixo através da definição de derivada:
Utilize a definição de derivada nas atividades abaixo:
Determine a derivada de no ponto .