Deduzir a fórmula da área de uma elipse em termos das medidas dos seus semieixos.
Equação canônica da elipse:
Equação canônica da elipse:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente deduzir a fórmula da área de uma elipse usando os semieixos dela. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo das conicas. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação canônica da elipse e como calcular áreas de formas geométricas usando integração ou transformação de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação da elipse que foi dada:
Aqui,
é o semieixo maior e
é o semieixo menor da elipse.
Passo 3
Para encontrar a área da elipse, podemos usar uma técnica de transformação que relaciona a elipse com um círculo. Sabemos que a área de um círculo de raio
é
.
Passo 4
Vamos fazer uma mudança de variável para transformar a elipse em um círculo. Seja:
Onde
e
são novas variáveis. Substituindo na equação da elipse:
Agora temos a equação de um círculo unitário (
).
Passo 5
A área do círculo unitário é
. Mas precisamos relacionar isso com a área da elipse original. A transformação que fizemos (escala nos eixos
e
) altera a área original.
Cada ponto na direção
foi multiplicado por
e na direção
por
. Então, a área da elipse é a área do círculo multiplicada por esses fatores de escala:
Resposta
A área da elipse é dada por: