Defina
, e calcule
. Compare o resultado com aquele obtido no item b… O que você conclui sobre a independência entre
e
, e sobre a independência entre os lançamentos da moeda em geral? (Dica: mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três eventos $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ relacionados a lançamentos de moeda. A tarefa é definir a interseção desses três eventos, ou seja, $ C_1 \cap C_2 \cap C_3 $, calcular a probabilidade dessa interseção, comparar com um resultado anterior (do item b) e, por fim, concluir sobre a independência entre esses eventos e entre os lançamentos da moeda em geral. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade de interseção de eventos e independência de eventos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir $ C_1 \cap C_2 \cap C_3 $. A interseção de $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ representa o evento em que todos os três eventos ocorrem simultaneamente. No contexto de lançamentos de moeda, isso significa que, por exemplo, se $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ representam obter “cara” em cada lançamento, então $ C_1 \cap C_2 \cap C_3 $ é o evento de obter “cara” nos três lançamentos juntos.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de $ C_1 \cap C_2 \cap C_3 $, ou seja, $ \mathbb{P}(C_1 \cap C_2 \cap C_3) $. Se os eventos são independentes, a probabilidade da interseção é o produto das probabilidades individuais:
Vamos assumir que cada lançamento de moeda é justo, então $ \mathbb{P}(C_i) = 0.5 $ para cada $ i $.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Então, a probabilidade de obter “cara” nos três lançamentos é 12,5%.
Passo 5
Agora, vamos comparar esse resultado com o obtido no item b) do exercício. Embora não tenhamos o detalhe do item b), a dica sugere que devemos verificar se:
Como calculamos acima e a igualdade se mantém, isso indica que os eventos são independentes.
Resposta
Concluímos que os eventos $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são independentes entre si, e que os lançamentos da moeda também são independentes em geral. Isso significa que o resultado de um lançamento não afeta o resultado dos outros.