Defina formalmente a probabilidade condicional P(A mid B) de A dado B. Forneça também uma explicação intuitiva para justificar a definição formal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente definir formalmente a probabilidade condicional P(A mid B), que é a probabilidade do evento A acontecer dado que o evento B já aconteceu. A matéria aqui é Probabilidade, especificamente a parte de probabilidade condicional. Para resolver, vamos precisar entender o que são eventos, probabilidade de eventos e como relacionar dois eventos usando a condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de um evento A, P(A), é uma medida de quão provável é que A ocorra. Agora, quando falamos em probabilidade condicional, estamos interessados em saber a probabilidade de A ocorrer sabendo que B já aconteceu. Para isso, precisamos pensar na interseção dos dois eventos, ou seja, quando ambos A e B acontecem ao mesmo tempo, representado por A cap B.

Passo 3

A definição formal da probabilidade condicional P(A mid B) é dada pela razão entre a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem juntos e a probabilidade do evento B ocorrer. Matematicamente, isso fica assim:
P(A mid B) = P(A cap B)P(B)
Isso faz sentido porque estamos essencialmente “recalculando” a probabilidade de A dentro do contexto onde B já é certo.

Resposta

A probabilidade condicional de A dado B é definida formalmente por
P(A mid B) = P(A cap B)P(B)
Intuitivamente, isso significa que para calcular a probabilidade de A acontecer sabendo que B já ocorreu, a gente olha para a proporção das vezes que ambos A e B acontecem juntas em relação a todas as vezes que B acontece.

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