Defina
e determine os números nos quais
é contínua.
(b)
.
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
-
-
(valor absoluto de )
Queremos definir a composição dessas funções,
, e determinar para quais valores de
a função composta
é contínua. Vamos trabalhar com os conceitos de composição de funções e continuidade de funções.
Passo 2
Vamos começar definindo a composição
. Por definição,
. Ou seja, primeiro aplicamos
em
, depois aplicamos
no resultado.
Então:
Simplificando:
Passo 3
Agora, precisamos determinar onde essa função
está definida e, consequentemente, onde ela é contínua. Para isso, vamos analisar o domínio de
.
Uma função está definida apenas onde todas as expressões envolvidas são válidas. Então, vamos verificar as condições para:
- O denominador
ser definido e diferente de zero. - O numerador
ser definido.
Passo 4
Primeiro, analisamos o denominador:
A raiz quadrada está definida para números não negativos, então:
Além disso, o denominador não pode ser zero:
Portanto, combinando as duas condições, temos:
Passo 5
Agora, analisamos o numerador:
A raiz quadrada requer que o radicando seja não negativo:
Passo 6
Para que
esteja definida, ambas as condições devem ser satisfeitas ao mesmo tempo:
Isso implica que
deve satisfazer:
Ou seja, os valores de
são:
Passo 7
Agora, vamos investigar a continuidade de
nessas regiões. Como
é uma composição de funções contínuas no seu domínio, a função será contínua onde está definida.
As funções radicais e a função valor absoluto são contínuas onde seus domínios são permitidos. Portanto,
será contínua para todos os valores de
onde está definida, ou seja:
Resposta
A composição
é contínua para todos os números reais
que satisfazem
ou
.