Defina f(g) e determine os números nos quais f(g) é contínua.
(b) f(x) = raiz(4 - x^2) / raiz(x - 1), g(x) = |x|.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
  • (valor absoluto de )
Queremos definir a composição dessas funções, , e determinar para quais valores de a função composta é contínua. Vamos trabalhar com os conceitos de composição de funções e continuidade de funções.

Passo 2

Vamos começar definindo a composição . Por definição, . Ou seja, primeiro aplicamos em , depois aplicamos no resultado.
Então:
Simplificando:

Passo 3

Agora, precisamos determinar onde essa função está definida e, consequentemente, onde ela é contínua. Para isso, vamos analisar o domínio de .
Uma função está definida apenas onde todas as expressões envolvidas são válidas. Então, vamos verificar as condições para:
  1. O denominador ser definido e diferente de zero.
  2. O numerador ser definido.

Passo 4

Primeiro, analisamos o denominador:
A raiz quadrada está definida para números não negativos, então:
Além disso, o denominador não pode ser zero:
Portanto, combinando as duas condições, temos:

Passo 5

Agora, analisamos o numerador:
A raiz quadrada requer que o radicando seja não negativo:

Passo 6

Para que esteja definida, ambas as condições devem ser satisfeitas ao mesmo tempo:
Isso implica que deve satisfazer:
Ou seja, os valores de são:

Passo 7

Agora, vamos investigar a continuidade de nessas regiões. Como é uma composição de funções contínuas no seu domínio, a função será contínua onde está definida.
As funções radicais e a função valor absoluto são contínuas onde seus domínios são permitidos. Portanto, será contínua para todos os valores de onde está definida, ou seja:

Resposta

A composição é contínua para todos os números reais que satisfazem ou .

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